* Với \(a=1\) ta thấy BĐT đúng.
* Ta xét khi \(a>1\)
Hàm nghi số \(y=\) \(y=\frac{1}{a^1}=\left(\frac{1}{a}\right)^1\) nghịch biến với \(\forall t\in R,\) khi \(a>1\).
Khi đó ta có
Ta có: \(\left(x-y\right)\left(\frac{1}{a^x}-\frac{1}{a^y}\right)\le0,\forall x,y\in R\Rightarrow\frac{x}{a^x}+\frac{y}{a^y}\le\frac{x}{a^y}+\frac{y}{a^x}\) (1)
Chứng minh tương tự \(\frac{y}{a^y}+\frac{z}{a^z}\le\frac{z}{a^y}+\frac{y}{a^z}\) (2) \(\frac{z}{a^z}+\frac{x}{a^x}\le\frac{x}{a^z}+\frac{z}{a^x}\) (3)
Cộng vế với vế (1), (2) và (3) ta được \(2\left(\frac{x}{a^x}+\frac{y}{a^y}+\frac{z}{a^z}\right)\le\frac{y+z}{a^x}+\frac{z+x}{a^y}+\frac{x+y}{a^z}\) (4)
Cộng 2 vế của (4) với biểu thức \(\frac{x}{a^x}+\frac{y}{a^y}+\frac{z}{a^z}\) ta được
\(3\left(\frac{x}{a^x}+\frac{y}{a^y}+\frac{z}{a^z}\right)\le\frac{x+y+z}{a^x}+\frac{x+y+z}{a^y}+\frac{x+y+z}{a^z}=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{a^x}+\frac{1}{a^y}+\frac{1}{a^z}\right)\)
