chứng minh của hùng cho thấy rằng một tập hợp hữu hạn các số nguyên tố bất kỳ là chưa hoàn thành.^[52] Thật vậy, xét một tập hợp hữu hạn gồm các số nguyên tố {\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}}. Khi nhân các số đó với nhau và cộng thêm 1 thì ta được

{\displaystyle N=1+p_{1}\cdot p_{2}\cdots p_{n}.}

Theo định lý cơ bản của số học thì {\displaystyle N} có một phân tích nguyên tố

{\displaystyle N=p'_{1}\cdot p'_{2}\cdots p'_{m}}

với một hoặc nhiều thừa số nguyên tố. {\displaystyle N} có thể được chia hết bởi bất kỳ thừa số nào trong tích trên, nhưng lại có phần dư bằng 1 khi được chia bởi bất kỳ số nguyên tố nào trong tập hợp đã cho, nên không có thừa số nguyên tố nào của {\displaystyle N} có trong tập hợp đó. Vì không tồn tại một tập hợp hữu hạn nào chứa tất cả các số nguyên tố nên phải có vô số số nguyên tố.

Các số được tạo ra khi cộng thêm 1 vào tích của các số nguyên tố nhỏ nhất được gọi là số Euclid.^[53] Năm số Euclid đầu tiên là số nguyên tố, nhưng số Euclid thứ sáu,

{\displaystyle 1+{\big (}2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13{\big )}=30031=59\cdot 509,}

là hợp số.

Công thức số nguyên tố[sửa | sửa mã nguồn]

Bài chi tiết: Công thức số nguyên tố

Không có công thức số nguyên tố hiệu quả nào được biết đến. Chẳng hạn, không có đa thức khác hằng số nào, kể cả đa thức đa biến, chỉ cho duy nhất các giá trị nguyên tố.^[54] Tuy nhiên, có một số biểu thức có thể tạo ra các giá trị nguyên tố, nhưng hiệu quả hoạt động khá thấp. Một công thức như thế được dựa trên định lý Wilson và có thể cho giá trị 2 nhiều lần, các giá trị nguyên tố khác đúng một lần.^[55] Một hệ phương trình Diophantine gồm 9 biến và một tham số cũng tồn tại với tính chất: tham số đó là số nguyên tố khi và chỉ khi hệ phương trình thu được có một nghiệm trên tập hợp số tự nhiên. Tính chất đó có thể được dùng để suy ra một công thức với tính chất là tất cả các giá trị dương của nó đều là số nguyên tố.^[54]

Hai công thức số nguyên tố khác đến từ định lý Mills và một định lý của Wright, cho rằng tồn tại hằng số thực {\displaystyle A>1} và {\displaystyle \mu } sao cho giá trị của

{\displaystyle \left\lfloor A^{3^{n}}\right\rfloor {\text{ và }}\left\lfloor 2^{\cdots ^{2^{2^{\mu }}}}\right\rfloor }

là số nguyên tố với mọi số tự nhiên {\displaystyle n} bất kỳ ở công thức thứ nhất và bất kỳ số lũy thừa nào trong công thức thứ hai.^[56] Ở đây {\displaystyle \lfloor {}\cdot {}\rfloor } là hàm sàn, số lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng với số được xét. Tuy nhiên, các công thức này không hữu ích vì cần phải tạo ra các số nguyên tố trước tiên để tính {\displaystyle A} hoặc {\displaystyle \mu }.^[54]

Z={-9;-8;-7;-6;-5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;...}

nó là số 8 nằm ngang

Nó là 8 ngã nha

Ta hãy : G/S : Tập hợp số nguyên tố là hữu hạn.

G/S : Tập hợp các số nguyên tố đó là : \(x_1;x_2;x_3;.....;x_n\)

Xét với dãy số : \(x_1.x_2.x_3......x_n+1\)

Ta thấy: \(x_1;x_x;x_3;.....;x_n\) đều là các số nguyên tố.

\(\Rightarrow x_1.x_2.x_3......x_n+1>x_1+x_2+x_3+.....+x_n\)

Ta thấy : \(x_1.x_2.x_3.......x_n+1⋮̸x_1;x_2;x_3;.....;x_n\)

Từ 2 điều trên : \(\Rightarrow x_1.x_2.x_3........x_n+1\) là một số nguyên tố.

Suy ra : G/S sai.

\(\Rightarrowđpcm\)

1, 

chúng ta đều biết số nguyên tố là số không chia hết cho bât kỳ số nào trừ 1 và chính số đó. 
từ đó ta có công thức tạo số nguyên tố như sau: tích tất cả các số nguyên tố đã biết cộng một (1) thì sẽ cho ta một số nguyên tố mới. 
và nếu ta lặp lại thuật toán trên vô số lần ( với mỗi lần ta thêm số nguyên tố mới vào) ta sẽ có vô số số nguyên tố

Số nguyên tố chia 4 sẽ dư 1 hoặc 3. Ta đã chứng minh được có vô số số nguyên tố. Mà số nguyên tố cũng ko thể tồn tại tất cả ở dạng 4k+3 được. Do đó cũng có vô số số nguyên tố tồng tại ở dạng 4k+1

Chắc ko?

Nhỡ chỉ có hữu hạn thì sao?

Giả sử có hữu hạn số nguyên tố là a1,a2,a3,...,an trong đó an là số nguyên tố lớn nhất trong tất cả các số nguyên tố. 
Xét số A= a1.a2.a3....an chia hết cho mỗi số nguyên tố ap (với \(1\le p\le n\)) 
=> số A+1 chia cho mỗi số ap đều dư 1.(1) 
Lại có A+1 > an => A+1 là hợp số =>A+1 chia hết cho 1 trong các số nguyên tố ap,mâu thuẫn với (1). 
=> điều giả sử là sai=> có vô số số nguyên tố

Chứng minh bằng phản chứng : Giả sử có hữu hạn số nguyên tố, do đó ta có thể sắp xết các số này thành dãy : p1<p2<p3<...<pnp1<p2<p3<...<pn

Xét số p=p1.p2.p3...pn+1p=p1.p2.p3...pn+1 . Vì p>pnp>pn nên p không thể là số nguyên tố. Vậy p là bội số của một số nguyên tố pkpk nào đó, suy ra : 1=p−p1.p2...pk⇒1⋮pk⇒pk≤11=p−p1.p2...pk⇒1⋮pk⇒pk≤1 (vô lý)

Vậy có vô hạn số nguyên tố.

ta có : Ư(a) = {1 ; a)

B(a) = a . P

P = {x E N | x = 2 ; 3 : 4 ; ...}

vậy a = {a E N | a \(⋮\)a và 1 ; a khác 0 và 1}

Giả sử số các số nguyên tố dạng 4k + 3 là hữu hạn.

Gọi đó là p1, p2, ..., pk.

Xét A = 4*p1*p2*...*pk - 1  

A có dạng 4k + 3, vậy theo bổ đề A có ít nhất 1 ước nguyên tố dạng 4k + 3.

Dễ thấy là A không chia hết cho p1, p2, ..., pk, tức không chia hết cho bất cứ số nguyên tố nào có dạng 4k + 3, mâu thuẫn.

Vậy có vô hạn số nguyên tố dạng 4k + 3

**** nhe