Cho hàm số y = xn + (c-x)n ; c là hằng số.
Tìm GTNN và CMR: \(\left(\frac{a+b}{2}\right)^n\) \(\le\) \(\frac{a^n+b^n}{2}\)
Hàm số y = x n + x n - 1 + . . . + x = 1 ( n ∈ ℕ , n ⩾ 1 ) có đạo hàm tại x=1 bằng
A . n ( n + 1 ) 2
B . n ( n - 1 ) 2
C . n ( n - 1 )
D . n ( n + 1 )
Cho hàm số f ( x ) = x + x 2 2 + x 3 3 + . . . + x n + 1 n + 1 , n ∈ N . Tính lim x → ∞ f ' ( 1 3 ) .
A. L = 2 3
B. L = 3 2
C. L = 5 4
D. L = 7 4
Xét hàm số f x = 2 x 2 - 2 x x - 1
1. Cho biến x những giá trị khác 1 lập thành dãy số x n , x n → 1 như trong bảng sau:
Khi đó, các giá trị tương ứng của hàm số
f ( x 1 ) , f ( x 2 ) , … , f ( x n ) , …
cũng lập thành một dãy số mà ta kí hiệu là f ( x n ) .
a) Chứng minh rằng f ( x n ) = 2 x n = ( 2 n + 2 ) / n .
b) Tìm giới hạn của dãy số f ( x n ) .
2. Chứng minh rằng với dãy số bất kì x n , x n ≠ 1 và x n → 1 , ta luôn có f ( x n ) → 2 .
(Với tính chất thể hiện trong câu 2, ta nói hàm số f x = 2 x 2 - 2 x x - 1 có giới hạn là 2 khi x dần tới 1).
Cho hàm số y = 2 x - 1 x - 1 có đồ thị (C). Gọi M,N là hai điểm phân biệt thuộc (C) có tọa độ là những số nguyên, trong đó x M > x N . Điểm P (a;b) thuộc (C) sao cho tam giác MNP cân tại M. Tính a + b:
A. a + b = 5
B. a + b = 1
C. a + b = 7
D. a + b = 1 - 2 3
Tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số y = x 4 + 3 x 3 + 2 x 2 tại đúng hai điểm phân biệt M và N với x M < x N . Giá trị của biểu thức x N - x M bằng
A. 3 2
B. 11 2
C. 2 2
D. 6
Cho hàm số y = 2 x 3 - 3 x 2 + 1 có đồ thị (C). Xét điểm A1 có hoành độ x1 = 1 thuộc (C). Tiếp tuyến của (C) tại A1 cắt (C) tại điểm thứ hai A 2 ≠ A 1 có hoành độ x2. Tiếp tuyến của (C) tại A2 cắt (C) tại điểm thứ hai A 3 ≠ A 2 có hoành độ x3. Cứ tiếp tục như thế, tiếp tuyến của (C) tại A n - 1 cắt (C) tại điểm thứ hai A n ≠ A n - 1 có hoành độ x n Tìm giá trị nhỏ nhất của n để x n > 5 100
A. 235.
B. 234.
C. 118.
D. 117.
Cho hàm số y = 2 x 3 - 3 x 2 + 1 có đồ thị (C). Xét điểm A1 có hoành độ x 1 = 1 thuộc (C). Tiếp tuyến của (C) tại A 1 cắt (C) tại điểm thứ hai A 2 ≠ A 1 có hoành độ x 2 . Tiếp tuyến của (C) tại A 2 cắt (C) tại điểm thứ hai A 3 ≠ A 2 có hoành độ x 3 . Cứ tiếp tục như thế, tiếp tuyến của (C) tại A n - 1 cắt (C) tại điểm thứ hai A n ≠ A n - 1 có hoành độ x n . Tìm giá trị nhỏ nhất của n để x n > 5 100 .
A. 235.
B. 234.
C. 118.
D. 117.
Gọi M là điểm có hoành độ khác 0, thuộc đồ thị (C) của hàm số y = x 3 - 3 x . Tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại điểm thứ hai là N (N không trùng với M). Kí hiệu x M , x N thứ tự là hoành độ của M và N. Kết luận nào sau đây là đúng?
A. 2 x M + x N = 0
B. x M + 2 x N = 3
C. x M + x N = - 2
D. x M + x N = 3
Đáp án A
Gọi M x 0 ; y 0 ∈ C ⇒ y ' x 0 = 3 x 0 2 - 3 và y x 0 = x 0 3 - 3 x 0 .
Suy ra phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là y = y x 0 = y ' x 0 . x - x 0 .
⇔ y = 3 x 0 2 - 3 . x - x 0 + x 0 3 - 3 x 0 = 3 x 0 2 - 3 . x - 2 x 0 3 ( d ) .
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là x 3 - 3 x = 3 x 0 2 - 3 x - 2 x 0 3
⇔ x 3 - 3 x 0 2 . x + 2 x 0 3 = 0 ⇔ x - x 0 2 x + 2 x 0 = 0 ⇔ [ x = x 0 x = - 2 x 0 .
Vậy x M = x 0 x N = - 2 x 0 ⇒ 2 x M + x N = 0 .
Bài toán 3. Tìm x; y biết:
a. . 25 – y2 = 8( x – 2009)
b. x3 y = x y3 + 1997
c. x + y + 9 = xy – 7.
Bài toán 4. Cho n số x1, x2, ..., xn mỗi số nhận giá trị 1 hoặc -1. Chứng minh rằng nếu x1.x2 + x2.x3 + ...+ xn.x1 = 0 thì n chia hết cho 4.
Bài toán 5. Chứng minh rằng: