Hàm số y = x n + x n - 1 + . . . + x = 1   ( n ∈ ℕ ,   n ⩾ 1 )  có đạo hàm tại x=1 bằng

A .   n ( n + 1 ) 2

B .   n ( n - 1 ) 2

C .   n ( n - 1 )

D .   n ( n + 1 )

Cho hàm số f ( x ) = x + x 2 2 + x 3 3 + . . . + x n + 1 n + 1 ,   n ∈ N . Tính lim   x → ∞ f ' ( 1 3 ) .

A.  L = 2 3

B.  L = 3 2

C.  L = 5 4

D.  L = 7 4

Xét hàm số  f x   =   2 x 2 - 2 x x   -   1

1. Cho biến x những giá trị khác 1 lập thành dãy số x n ,   x n   →   1 như trong bảng sau:

Khi đó, các giá trị tương ứng của hàm số

f ( x 1 ) ,   f ( x 2 ) , … ,   f ( x n ) ,   …

cũng lập thành một dãy số mà ta kí hiệu là f ( x n ) .

a) Chứng minh rằng f ( x n )   =   2 x n   =   ( 2 n   +   2 ) / n .

b) Tìm giới hạn của dãy số  f ( x n ) .

2. Chứng minh rằng với dãy số bất kì   x n ,   x n   ≠   1 và x n   →   1 , ta luôn có f ( x n )   →   2 .

(Với tính chất thể hiện trong câu 2, ta nói hàm số  f x   =   2 x 2 - 2 x x   -   1  có giới hạn là 2 khi x dần tới 1).

Cho hàm số y = 2 x - 1 x - 1  có đồ thị (C). Gọi M,N là hai điểm phân biệt thuộc (C) có tọa độ là những số nguyên, trong đó x M > x N . Điểm P (a;b) thuộc (C) sao cho tam giác MNP cân tại M. Tính a + b:

A. a + b = 5

B. a + b = 1

C. a + b = 7

D.  a + b = 1 - 2 3

Tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số  y = x 4 + 3 x 3 + 2 x 2 tại đúng hai điểm phân biệt M và N với x M < x N . Giá trị của biểu thức  x N - x M bằng

A.  3 2

B.  11 2

C.  2 2

D. 6

Cho hàm số  y = 2 x 3 - 3 x 2 + 1  có đồ thị (C). Xét điểm A₁ có hoành độ x₁ = 1 thuộc (C). Tiếp tuyến của (C) tại A₁ cắt (C) tại điểm thứ hai  A 2 ≠ A 1  có hoành độ x₂. Tiếp tuyến của (C) tại A₂ cắt (C) tại điểm thứ hai  A 3 ≠ A 2 có hoành độ x₃. Cứ tiếp tục như thế, tiếp tuyến của (C) tại  A n - 1  cắt (C) tại điểm thứ hai  A n ≠ A n - 1 có hoành độ  x n  Tìm giá trị nhỏ nhất của n để  x n > 5 100

A. 235.

B. 234.

C. 118.

D. 117.

Cho hàm số  y = 2 x 3 - 3 x 2 + 1 có đồ thị (C). Xét điểm A1 có hoành độ  x 1 = 1 thuộc (C). Tiếp tuyến của (C) tại  A 1 cắt (C) tại điểm thứ hai A 2 ≠ A 1 có hoành độ x 2 . Tiếp tuyến của (C) tại  A 2 cắt (C) tại điểm thứ hai A 3 ≠ A 2 có hoành độ x 3 . Cứ tiếp tục như thế, tiếp tuyến của (C) tại  A n - 1 cắt (C) tại điểm thứ hai  A n ≠ A n - 1 có hoành độ x n . Tìm giá trị nhỏ nhất của n để x n > 5 100 .

A. 235.

B. 234.

C. 118.

D. 117.

Gọi M là điểm có hoành độ khác 0, thuộc đồ thị (C) của hàm số y = x 3 - 3 x .  Tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại điểm thứ hai là N (N không trùng với M). Kí hiệu x M , x N  thứ tự là hoành độ của M và N. Kết luận nào sau đây là đúng?

A.  2 x M + x N = 0

B.  x M + 2 x N = 3

C.  x M + x N = - 2

D.  x M + x N = 3

Bài toán 3. Tìm x; y biết:

a. . 25 – y² = 8( x – 2009)

b. x³ y = x y³  + 1997

c. x + y + 9 = xy – 7.

Bài toán 4. Cho n số x₁, x₂, ..., x_n mỗi số nhận giá trị 1 hoặc -1. Chứng minh rằng nếu x₁.x₂ + x₂.x₃ + ...+ x_n.x₁ = 0 thì n chia hết cho 4.

Bài toán 5. Chứng minh rằng: