\(x^2+y^2+\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2\ge2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2xy+\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2\ge2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2\left(xy+1\right)+\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-\frac{2\left(x+y\right)\left(xy+1\right)}{\left(x+y\right)}+\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-\frac{xy+1}{x+y}\right)^2\ge0\) (đúng)

Vậy ...

Theo Cauche ta có:

\(\left(x+y\right)^2+\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2\ge2\left(x+y\right).\frac{1+xy}{x+y}=2\left(1+xy\right)=2+2xy\)

<=> \(x^2+y^2+2xy+\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2\ge2+2xy\)

<=> \(x^2+y^2+\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2\ge2+2xy-2xy=2\)=> ĐPCM

Đặt \(z=-\frac{1+xy}{x+y}\)ta có \(xy+yz+zx=-1\)và bất đẳng thức đã cho trở thành:

\(x^2+y^2+z^2\ge2\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge-2\left(xy+yz+zx\right)\)\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge0\)( luôn đúng )

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh.

Mình giải thế này có đúng ko?

tich cho minh nha

Đặt \(z=-\frac{1+xy}{x+y}\). Ta có: xy + yz + zx = -1 và bất đẳng thức đã cho trở thành:

\(x^2+y^2+z^2\ge2\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge-2\left(xy+yz+zx\right)\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge0\)

\(VT=x^2+y^2+\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2=\left(x+y\right)^2+\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2-2xy\)

\(VT\ge2\sqrt{\frac{\left(x+y\right)^2\left(1+xy\right)^2}{\left(x+y\right)^2}}-2xy=2\left|1+xy\right|-2xy\)

\(VT\ge2\left(1+xy\right)-2xy=2\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x+y\right)^2=1+xy\)

thằng ngu lê anh tú ko biết gì thì im vào

Đặt \(\hept{\begin{cases}S=x+y\\P=xy\end{cases}}\)\(\Rightarrow x^2+y^2=S^2-2P\)

Ta cần chứng minh \(S^2-2P+\left(\frac{P+1}{S}\right)^2\ge2\)

\(\Leftrightarrow S^2-2\left(P+1\right)+\left(\frac{P+1}{S}\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow S^2-\frac{2S\left(P+1\right)}{S}+\left(\frac{P+1}{S}\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(S-\frac{P+1}{S}\right)^2\ge0\) *luôn đúng*

Đề sai. a=0;b=0,1 ko đúng, sửa lại đề đi bn

ko biết còn tinh vi ggwp  =]]

y=1

x=2

bạn giải thích rõ ra đi

rõ ra cơ mà