Giả sử P( x ) có ít nhất 3 nghiệm phân biệt : x₁ ; x₂ ; x₃

 \( \implies\) P( x₁ ) = 0 \(\iff\) ax₁² + bx₁ + c = 0 ( 1 )

          P( x₂ ) = 0 \(\iff\) ax₂² + bx₂ + c = 0 ( 2 )

          P( x₃ ) = 0 \(\iff\) ax₃² + bx₃ + c = 0 ( 3 )

+)Lấy ( 1 ) - ( 2 ) vế với vế ta được : ( ax₁² + bx₁ + c ) - ( ax₂² + bx₂ + c ) = 0

                                                \( \implies\)  ax₁² + bx₁ - ax₂² - bx₂  = 0

                                                \( \implies\) ( ax₁² - ax₂² ) + ( bx₁ - bx₂ ) = 0

                                                \( \implies\) a( x₁² - x₂² ) + b( x₁ - x₂ ) = 0

                                                \( \implies\) a( x₁ - x₂ )( x₁ + x₂ ) + b(x₁ - x₂ ) = 0

                                                \( \implies\) ( x₁ - x₂ ) [ a( x₁ + x₂ ) + b ] = 0

 Mà x₁ - x₂ khác 0   \( \implies\)   a( x₁ + x₂ ) + b = 0 ( 4 )

+)Lấy ( 1 ) - ( 3 )  vế với vế ta được : ( ax₁² + bx₁ + c ) - ( ax₃² + bx₃ + c ) = 0   

                                                \( \implies\) ax₁² + bx₁ - ax₃² - bx₃  = 0

                                                \( \implies\) ( ax₁² - ax₃² ) + ( bx₁ - bx₃ ) = 0

                                                \( \implies\) a( x₁² - x₃² ) + b( x₁ - x₃ ) = 0

                                                \( \implies\) a( x₁ - x₃ )( x₁ + x₃ ) + b(x₁ - x₃ ) = 0

                                                \( \implies\) ( x₁ - x₃ ) [ a( x₁ + x₃ ) + b ] = 0

 Mà x₁ - x₃ khác 0   \( \implies\)   a( x₁ + x₃ ) + b = 0 ( 5 )            

+)Lấy ( 4 ) - ( 5 )  vế với vế ta được : [ a( x₁ + x₂ ) + b ] - [ a( x₁ + x₃ ) + b ] = 0 

                                                \( \implies\) a( x₁ + x₂ ) + b - a( x₁ + x₃ ) - b  = 0

                                                \( \implies\) a( x₁ + x₂ ) - a( x₁ + x₃ ) = 0

                                                \( \implies\) a( x₁ + x₂ -  x₁ - x₃ ) = 0 

                                                \( \implies\) a ( x₂ - x₃ ) = 0

  Mà x₂ - x₃ khác 0   \( \implies\)   a = 0 ( vô lý )

  Vậy P( x ) luôn không có quá 2 nghiệm phân biệt                      

Xét (x-4)A(x)=(x+2)A(x-1)

Thay x=4 vào đa thức (x-4)A(x)=(x+2)A(x-1) ta có:

 (4-4)A(4)=(4+2)A(4-1)

=>0A(4)=6A(3)

=>0= A(3)

=> x=3 là một nghiệm của đa thức A(x)       (1)

Thay x=-2 vào đa thức (x-4)A(x)=(x+2)A(x-1) ta có:

 (-2-4)A(-2)=(-2+2)A(-2-1)

=>-6A(-2)=0A(-3)

=>-6A(-2)=0

=>A(-2)=0

=> x=-2 là một nghiệm của đa thức A(x)       (2) 

 Từ (1) và (2)=> đa thức A(x) có ít nhất 2 nghiệm

ai ủng hộ bài này cái

khó quá!

bạn sửa 2 nghiệm phân biệt thành 1 nghiệm nhá

- Dễ dàng nhận thấy \(x=-1\) không phải là 1 nghiệm của đa thức P(x).

- Gọi b là 1 nghiệm của đa thức \(P\left(x\right)=x^3+3x^2-1\)

Do đó: \(b^3+3b^2-1=0\)

\(\Rightarrow\left(b^3+3b^2+3b+1\right)-3\left(b+1\right)+1=0\)

\(\Rightarrow\left(b+1\right)^3-3\left(b+1\right)+1=0\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(b+1\right)^3-3\left(b+1\right)+1}{\left(b+1\right)^3}=0\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{1}{b+1}\right)^3-3.\left(\dfrac{1}{b+1}\right)^2+1=0\)

\(\Rightarrow\left(-\dfrac{1}{b+1}\right)^3+3.\left(-\dfrac{1}{b+1}\right)^2-1=0\)

Thay \(x=-\dfrac{1}{b+1}\) vào \(P\left(x\right)=x^3+3x^2-1\) ta được:

\(P\left(-\dfrac{1}{b+1}\right)=\left(-\dfrac{1}{b+1}\right)^3+3.\left(-\dfrac{1}{b+1}\right)^2-1=0\)

\(\Rightarrow-\dfrac{1}{b+1}\) là một nghiệm của đa thức P(x).

Đặt \(a=-\dfrac{1}{b+1}\Rightarrow ab+a+1=0\) \(\Rightarrowđpcm\)