Đáp án C

Đặt \(z=x+yi\), ta được hệ phương trình :

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+\left(y-2\right)^2=x^2+y^2\\x^2+\left(y-1\right)^2=\left(x-1\right)^2+y^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=1\\x=y\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=1,y=1\)

Vậy \(z=1+i\)

\(\hept{\begin{cases}x+y+z=0\left(1\right)\\2x+3y+z=0\left(2\right)\\\left(x+1\right)^2+\left(y+2\right)^2+\left(z+3\right)^3=26\left(3\right)\end{cases}}\)

Từ (1), (2) suy ra:

\(\hept{\begin{cases}x=-2y\\z=y\end{cases}}\)

Thê vô (3) ta được:

\(\left(-2y+1\right)^2+\left(y+2\right)^2+\left(y+3\right)^2=26\)

\(\Leftrightarrow y^3+14y^2+27y+6=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y+2\right)\left(y^2+12y+3\right)=0\)

th1 y=z=-2

x=4

th2 y=z=-6+ căn 33

x=12-căn 33

đặc : \(z=a+bi\) với \(a;b\in R;i^2=-1\)

ta có : \(\left(z-i\right)^2+4=0\Leftrightarrow z^2-2iz+i^2+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+bi\right)^2-2i\left(a+bi\right)-1+4=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+2abi+\left(bi\right)^2-2ai-2bi^2+3=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+2abi-b^2-2ai+2b+3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2+2b+3\right)+\left(2ab-2a\right)i=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2-b^2+2b+3=0\\2ab-2a=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left(a;b\right)\in\left\{\left(0;3\right)\left(0;-1\right)\left(2;1\right)\left(-2;1\right)\right\}\)

vậy \(z=3i;z=-i;z=2+i;z=-2+i\)

suy ra (1-i)z= (4-5i)-(2-i)

(1-i)z =2-4i

z= (2-4i)/(1-i)

z= 3-i

a) (3 + 2i)z – (4 + 7i) = 2 – 5i

<=> z = \(\dfrac{\text{6 + 2 i}}{\text{3 + 2 i}}\) = \(\dfrac{22}{13}\) - \(\dfrac{6}{13}\)i

b) (7 – 3i)z + (2 + 3i) = (5 – 4i)z

⇔z= \(\dfrac{\text{− 2 − 3 i}}{\text{2 + i}}\) = \(\dfrac{-7}{5}\) - \(\dfrac{4}{5}i\)

c) z² – 2z + 13 = 0

⇔ (z – 1)² = -12 ⇔ z = 1 ± 2 √3 i

d) z⁴ – z² – 6 = 0

⇔ (z² – 3)(z² + 2) = 0

⇔ z ∈ { √3, - √3, √2i, - √2i}

Câu 1:

Gọi \(A\left(1;-1\right)\) và \(B\left(2;3\right)\Rightarrow\) tập hợp \(z\) thoả mãn điều kiện đề bài là đường trung trực d của đoạn AB, ta dễ dàng viết được phương trình d có dạng \(4x-y-5=0\)

Gọi \(M\left(-2;-1\right)\) và \(N\left(3;-2\right)\) và \(I\left(a;b\right)\) là điểm bất kì biểu diễn \(z\Rightarrow I\in d\) \(\Rightarrow P=IM+IN\). Bài toán trở thành dạng cực trị hình học phẳng quen thuộc: cho đường thẳng d và 2 điểm M, N cố định, tìm I thuộc d để \(P=IM+IN\) đạt GTNN

Thay toạ độ M, N vào pt d ta được 2 giá trị trái dấu \(\Rightarrow M;N\) nằm về 2 phía so với d

Gọi \(C\) là điểm đối xứng M qua d \(\Rightarrow IM+IN=IC+IN\), mà \(IC+IN\ge CN\Rightarrow P_{min}=CN\) khi I, C, N thẳng hàng

Phương trình đường thẳng d' qua M và vuông góc d có dạng:

\(1\left(x+2\right)+4\left(y+1\right)=0\Leftrightarrow x+4y+6=0\)

Gọi D là giao điểm d và d' \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+4y+6=0\\4x-y-5=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow D\left(\frac{14}{17};-\frac{29}{17}\right)\)

\(\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{DC}\Rightarrow C\left(-2;-1\right)\Rightarrow P_{min}=CN=\sqrt{\left(3+2\right)^2+\left(-2+1\right)^2}=\sqrt{26}\)

Bài 2:

Tập hợp \(z\) là các điểm M thuộc đường tròn (C) tâm \(I\left(0;1\right)\) bán kính \(R=\sqrt{2}\) có phương trình \(x^2+\left(y-1\right)^2=2\)

\(\Rightarrow\left|z\right|=OM\Rightarrow\left|z\right|_{max}\) khi và chỉ khi \(M;I;O\) thẳng hàng và M, O nằm về hai phía so với I

\(\Rightarrow M\) là giao điểm của (C) với Oy \(\Rightarrow M\left(0;1+\sqrt{2}\right)\Rightarrow\) phần ảo của z là \(b=1+\sqrt{2}\)

Câu 3:

\(\overline{z}=\left(i+\sqrt{2}\right)^2\left(1-\sqrt{2}i\right)=5+\sqrt{2}i\)

\(\Rightarrow z=5-\sqrt{2}i\Rightarrow b=-\sqrt{2}\)

Câu 4

\(z.z'=\left(m+3i\right)\left(2-\left(m+1\right)i\right)=2m-\left(m^2+m\right)i+6i+3m+3\)

\(=5m+3-\left(m^2+m-6\right)i\)

Để \(z.z'\) là số thực \(\Leftrightarrow m^2+m-6=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=-3\end{matrix}\right.\)

Câu 5:

\(A\left(-4;0\right);B\left(0;4\right);M\left(x;3\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(4;4\right)\\\overrightarrow{AM}=\left(x+4;3\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A,B,M\) khi và chỉ khi \(\frac{x+4}{4}=\frac{3}{4}\Rightarrow x=-1\)

Câu 6:

\(z=3z_1-2z_2=3\left(1+2i\right)-2\left(2-3i\right)=-1+12i\)

\(\Rightarrow b=12\)

Câu 7:

\(w=\left(1-i\right)^2z\)

Lấy môđun 2 vế:

\(\left|w\right|=\left|\left(1-i\right)^2\right|.\left|z\right|=2m\)

Câu 8:

\(3=\left|z-1+3i\right|=\left|z-1-i+4i\right|\ge\left|\left|z-1-i\right|-\left|4i\right|\right|=\left|\left|z-1-i\right|-4\right|\)

\(\Rightarrow\left|z-1-i\right|\ge-3+4=1\)

Câu 9:

\(z=\frac{i^{2017}}{3+4i}=\frac{\left(i^2\right)^{1008}.i}{3+4i}=\frac{i}{3+4i}=\frac{i\left(3-4i\right)}{\left(3-4i\right)\left(3+4i\right)}=\frac{4}{25}+\frac{3}{25}i\)

Điểm biểu diễn z là \(A\left(\frac{4}{25};\frac{3}{25}\right)\)

Câu 10:

\(a=3\Rightarrow z\) nằm trên đường thẳng \(x=3\)

Câu 11:

\(z_1+z_2=1+2i+2-3i=3-i\)

Câu 12:

\(z=2+5i\Rightarrow\overline{z}=2-5i\)

\(\Rightarrow w=i\left(2+5i\right)+2-5i=-3-3i\)

Câu 13:

\(z^2+z+1=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}z_1=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\\z_2=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\end{matrix}\right.\) (ném vô casio cho giải pt)

\(\Rightarrow z_0=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\Rightarrow w=\frac{i}{z_0}=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i\) (ném vô mode 2 bấm cho lẹ) \(\Rightarrow M\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};-\frac{1}{2}\right)\)

Câu 14:

Đặt \(z=x+yi\) \(\Rightarrow\left|x+7+\left(y-5\right)i\right|=\left|x-1+\left(y-11\right)i\right|\)

\(\Rightarrow\left(x+7\right)^2+\left(y-5\right)^2=\left(x-1\right)^2+\left(y-11\right)^2\)

\(\Rightarrow4x+3y-12=0\) quỹ đạo là đường thẳng d

Gọi \(A\left(2;8\right);B\left(6;6\right)\) và I là trung điểm AB \(\Rightarrow I\left(4;7\right)\)

\(M\left(x;y\right)\) là điểm biểu diễn \(z\Rightarrow P=MA^2+MB^2\)

Tam giác AMB có MI là trung tuyến ứng với cạnh AB

Theo công thức trung tuyến: \(MA^2+MB^2=2MI^2+\frac{AB^2}{2}\)

\(\Rightarrow P_{min}\) khi và chỉ khi \(MI_{min}\)

Gọi \(C\) là hình chiếu của I lên d \(\Rightarrow\Delta ICM\) vuông tại C, do IM là cạnh huyền và IC là cạnh góc vuông nên \(IM\ge IC\Rightarrow IM_{min}=IC\)

Vậy ta quy về bài toán tìm hình chiếu của I lên d

Đường thẳng qua I vuông góc với d có pt:

\(3\left(x-4\right)-4\left(y-7\right)=0\Leftrightarrow3x-4y+16=0\)

Tọa độ C là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}4x+3y-12=0\\3x-4y+16=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(0;4\right)\)

\(\Rightarrow p=x^2-y^2=0^2-4^2=-16\) (p này khác P kia nha :D)

a) (3 + 4i)z = (2 + 5i) – (1 – 3i) = 1 + 8i

Vậy

b) (4 + 7i)z – (5 – 2i) = 6iz ⇔ (4 + 7i)z – 6iz = 5 – 2i

⇔ (4 + i)z = 5 – 2i