Vì \(x;y;z\inℕ^∗\) và \(x< y< z\)nên \(\hept{\begin{cases}x\ge1\\y\ge2\\z\ge3\end{cases}}\)

\(\Rightarrow0< \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}< 2\)

\(\Rightarrow0< k< 2\)

Mà k nguyên dương nên k = 1

Với k = 1 thì pt : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\) 

*Với x = 1 thì VT > VP với mọi y ; z nguyên dương

*Với x > 3 thì y > 4 và z > 5

\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}< 1\)

=> pt vô nghiệm

Do đó x = 2 

\(\Rightarrow\frac{1}{2}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{y+z}{yz}=\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow2y+2z=yz\)

\(\Leftrightarrow\left(2y-yz\right)+\left(2z-4\right)=-4\)

\(\Leftrightarrow y\left(2-z\right)+2\left(z-2\right)=-4\)

\(\Leftrightarrow\left(y-2\right)\left(2-z\right)=-4\)

\(\Leftrightarrow\left(y-2\right)\left(z-2\right)=4\)

Từ pt  \(\Rightarrow y\ne2\)

            => y > 2

Vì \(\hept{\begin{cases}y>2\\z\ge3\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}y-2>0\\z-2>0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}y-2=1\\z-2=4\end{cases}\left(h\right)\hept{\begin{cases}y-2=2\\z-2=2\end{cases}\left(h\right)\hept{\begin{cases}y-2=4\\z-2=1\end{cases}}}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=3\\z=6\end{cases}}\)(Do y < z )

Vậy \(\hept{\begin{cases}x=2\\y=3\\z=6\end{cases}}\)

\(\dfrac{x}{x^2+yz}+\dfrac{y}{y^2+zx}+\dfrac{z}{z^2+xy}\le\dfrac{x}{2\sqrt{x^2yz}}+\dfrac{y}{2\sqrt{y^2zx}}+\dfrac{z}{2\sqrt{z^2xy}}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{zx}}+\dfrac{1}{\sqrt{xy}}\right)\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=\dfrac{3}{2}\).

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1.

Do các ẩn x, y, z có vai trò đẳng lập, nên có thể giả sử 1\(\le\)x\(\le\)y\(\le\)z

=> xyz = 1 + x + y + z\(\le\)3z + 1

Mình vội quá!!!

Viết tiếp nè,

xyz = 1 + x + y + z \(\le\)3z + 1\(\le\)4z           (Do 1\(\le\)z)

Chia hai vế cho z được xy\(\le\)4 => xy \(\in\){ 1; 2; 3; 4}

Với xy = 1 thì x = y = 1 => z = 3 + z (vô lí)

Với xy = 2 thì x = 1; y = 2 => z = 4

Với xy = 3 thì x = 1; y = 3 => z = 2,5 (loại)

Với xy = 4 thì x = 1; y = 4 => z = 2

Vậy (x; y; z) = (1; 2; 4) và các hoán vị của chúng 

Sửa một chút, phần trên cùng phải là 1\(\le\)x\(\le\)y\(\le\)z, không phải là 1xyz

Dòng dưới của phần trên cùng bỏ vì nó ở dưới rồi. mong các bạn thông cảm vì mình vội quá