a: Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó:ΔACB vuông tại C

=>\(\widehat{ACB}=90^0\)

Ta có: ΔOAC cân tại O(OA=OC)

mà OH là đường trung tuyến

nên OH\(\perp\)AC và OH là tia phân giác của góc AOC

Ta có: OH\(\perp\)AC(cmt)

AC\(\perp\)CB tại C(Do ΔACB vuông tại C)

Do đó: OH//BC

b:

OH là phân giác của góc AOC

=>\(\widehat{AOH}=\widehat{COH}\)

mà M\(\in\)OH

nên \(\widehat{AOM}=\widehat{COM}\)

Xét ΔOCM và ΔOAM có

OC=OA

\(\widehat{COM}=\widehat{AOM}\)

OM chung

Do đó: ΔOCM=ΔOAM

=>\(\widehat{OCM}=\widehat{OAM}\)

mà \(\widehat{OCM}=90^0\)

nên \(\widehat{OAM}=90^0\)

=>OA\(\perp\)MA tại A

=>MA là tiếp tuyến tại A của (O)

a: Sửa đề: cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn ở C

ΔOAB cân tại O

mà OC là đường cao

nên OC là phân giác của góc AOB

Xét ΔOAC và ΔOBC có

OA=OB

\(\widehat{AOC}=\widehat{BOC}\)

OC chung

Do đó: ΔOAC=ΔOBC

=>\(\widehat{OAC}=\widehat{OBC}=90^0\)

=>CB là tiếp tuyến của (O)

b:ΔOAC=ΔOBC

=>CB=CA

=>C nằm trên đường trung trực của AB(1)

OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

từ (1) và (2) suy ra OC là đường trung trực của BA

=>OC\(\perp\)AB

mà OC//AD

nên AB\(\perp\)AD

=>ΔABD vuông tại A

Ta có: ΔABD vuông tại A

=>ΔABD nội tiếp đường tròn đường kính DB

mà ΔABD nội tiếp (O)

nên O là trung điểm của DB

=>D,O,B thẳng hàng

Xét ΔAKD vuông tại K và ΔCAO vuông tại A có

\(\widehat{ADK}=\widehat{COA}\)(hai góc so le trong, AD//CO)

Do đó: ΔAKD\(\sim\)ΔCAO

2: Xét tứ giác OBCD có 

\(\widehat{OBC}+\widehat{ODC}=180^0\)

Do đó: OBCD là tứ giác nội tiếp

hay O,B,C,D cùng thuộc một đường tròn

a: Xét (O) có

CD,CB là các tiếp tuyến

Do đó: CD=CB

=>C nằm trên đường trung trực của DB(1)

Ta có: OD=OB

=>O nằm trên đường trung trực của DB(2)

Từ (1) và (2) suy ra OC là đường trung trực của BD

=>OC\(\perp\)BD

b: Xét tứ giác OBCD có

\(\widehat{OBC}+\widehat{ODC}=90^0+90^0=180^0\)

=>OBCD là tứ giác nội tiếp

=>O,B,C,D cùng thuộc một đường tròn

c: Xét (O) có

\(\widehat{CDM}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến DC và dây cung DM

\(\widehat{DAM}\) là góc nội tiếp chắn cung DM

Do đó: \(\widehat{CDM}=\widehat{DAM}\)

=>\(\widehat{CDM}=\widehat{CAD}\)

Xét ΔCDM và ΔCAD có

\(\widehat{CDM}=\widehat{CAD}\)

\(\widehat{DCM}\) chung

Do đó: ΔCDM đồng dạng với ΔCAD

=>\(\widehat{CMD}=\widehat{CDA}\)

a) Ta có: \(\angle DBO+\angle DFO=90+90=180\Rightarrow OBDF\) nội tiếp

Lấy I là trung điểm DO 

Vì \(\Delta DBO,\Delta DFO\) lần lượt vuông tại B và F có I là trung điểm DO

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}BI=DI=IO\\ID=IO=IF\end{matrix}\right.\Rightarrow IB=ID=IO=IF\Rightarrow I\) là tâm của (OBDF)

b) Ta có: \(AO=\sqrt{AF^2+OF^2}=\sqrt{\dfrac{16}{9}R^2+R^2}=\dfrac{5}{3}R\)

\(\Rightarrow cosDAB=\dfrac{AF}{AO}=\dfrac{\dfrac{4}{3}R}{\dfrac{5}{3}R}=\dfrac{4}{5}\)

c) Cần chứng minh \(\dfrac{BD}{DM}-1=\dfrac{DM}{AM}\Rightarrow\dfrac{DF-DM}{DM}=\dfrac{DM}{AM}\)

\(\Rightarrow\dfrac{MF}{DM}=\dfrac{DM}{AM}\Rightarrow DM^2=MF.MA\) 

Vì \(\left\{{}\begin{matrix}MO\bot BC\\DB\bot BC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow MO\parallel DB\)\(\Rightarrow\angle MOD=\angle BDO=\angle FDO\) 

\(\Rightarrow\Delta MOD\) cân tại M \(\Rightarrow MO=MD\)

mà \(MO^2=MF.MA\Rightarrow MD^2=MF.MA\)

d) MO cắt nửa đường tròn tại E

Ta có: \(tanDAB=\dfrac{FO}{AF}=\dfrac{R}{\dfrac{4}{3}R}=\dfrac{3}{4}\)

mà \(tanDAB=\dfrac{MO}{OA}\Rightarrow\dfrac{MO}{OA}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow MO=\dfrac{3}{4}.\dfrac{5}{3}R=\dfrac{5}{4}R\)

Vì \(MO\parallel DB\) \(\Rightarrow\dfrac{MO}{DB}=\dfrac{AO}{AB}=\dfrac{\dfrac{5}{3}R}{2R}=\dfrac{5}{6}\Rightarrow DB=\dfrac{MO}{\dfrac{5}{6}}=\dfrac{\dfrac{5}{4}R}{\dfrac{5}{6}}=\dfrac{3}{2}R\)

Có DB,OM rồi thì bạn thế vào tính \(S_{OBDM}=\dfrac{1}{2}.\left(BD+OM\right).BO\)

còn diện tích quạt \(BOE=\dfrac{90}{360}.R^2\pi=\dfrac{1}{4}R^2\pi\)

\(\Rightarrow\) diện tích tứ giác OBDM nằm ngoài đường tròn \(=S_{OBDM}-S_{quatBOE}\)

bạn thế vài tính nha

PS: ý tưởng là vậy chứ bạn tính toán lại cho kĩ,chứ mình hay tính nhầm lắm

a) Cm: OD là phân giác góc BOC

Nối C và B

Xét tam giác ABC có:
* C thuộc (O)
* AB là đường kính của (O)
=> tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính AB
=> tam giác ABC vuông tại C
=> AC vuông góc BC

Ta có: AC // OD (gt)
    Mà AC vuông góc BC (cmt)
=> OD vuông góc BC

Xét tam giác OCB có:
* OC = OB (=R)
=> tam giác OCB cân tại O
Mà có OD là đường cao (OD vuông góc BC cmt)
=> OD cũng là phân giác góc BOC (tính chất)

b) Cm: CD là tiếp tuyến của đường tròn

Xét tam giác COD và tam giác BOD có:
* OC = OB (=R)
* góc COD = góc BOD (cmt ở câu a)
* OD là cạnh chung
=> tam giác COD = tam giác BOD (c-g-c)
=> góc OBD = góc OCD (góc tương ứng)
Mà góc OBD = 90 độ (BD là tiếp tuyến)
=> góc OCD = 90 độ
=> CD vuông góc OC 
=> CD là tiếp tuyến đường tròn tâm O