Ta có: \(\widehat{CAB}=120^o\Rightarrow\widehat{CAD}=60^o\)

\(\Rightarrow\Delta DAC\) là nửa tam giác đều.

\(\Rightarrow AD=\frac{AC}{2}=\frac{b}{2}\)

Xét \(\Delta CDB\) vuông tại D có:

\(CB^2=CD^2+DB^2=\left(AC^2-AD^2\right)+\left(AD+AB\right)^2\)

\(\Leftrightarrow CB^2=AC^2-AD^2+AD^2+2AD.AB+AB^2=AC^2+2AB.\frac{AC}{2}+AB^2\)

\(\Leftrightarrow a^2=b^2+c^2+bc\)

Kẻ CE  |  AB.

Ta có \(\Delta ACE\) vuông tại E có góc A = 60^o.

\(\Rightarrow AE=\frac{1}{2}AC=\frac{b}{2}\)

\(CE=AC^2-AE^2=\frac{\sqrt{3}}{2}b\)

Xét \(\Delta EBC\) vuông tại E có :

\(EB=c+\frac{b}{2}\)

\(EC=\frac{\sqrt{3}}{2}b\)

\(\Rightarrow a^2=BC^2=EB^2+EC^2=\left(c+\frac{b}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}b\right)^2=b^2+c^2+bc\)

Vậy ...

- Vẽ CD vuông góc tia AB tại D. 

Ta thấy: \(\widehat{BAC}=120^o\Rightarrow\widehat{CAD}=60^o\left(p.g\right)\)

Tam giác CAD là nửa tam giác đều 

\(\Rightarrow AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}AB\)

- Tam giác CDB vuông tại D 

\(\Rightarrow BC^2=BD^2+CD^2=BD^2+CD^2...\Rightarrow a^2=\left(AB+AD\right)^2+\left(AC-AD\right)^2\)

\(\Rightarrow AB^2+2AB.BD+AD^2+AC^2-AD^2\Rightarrow a^2=b^2+c^2+2c.AD=b^2+c^2+bc\left(AD=\frac{1}{2}b\right)\)

Áp dụng định lí hàm cos ta có :

\(AC^2=AB^2+AC^2-2AB.AC.\cos B\)

\(\Rightarrow12^2+6^2-2.12.6.\left(-\frac{1}{2}\right)=252\Rightarrow AC=\sqrt{252}\)

Vì BD là phân giác của góc B nên theo tính chất ta có: 

\(\frac{AD}{BC}=\frac{AB}{BC}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow DC=2AD;AC=\sqrt{252}\Rightarrow AD=\frac{1}{3}\sqrt{252}\)

Áp dụng định lý hàm số COS đồi với tam giác ABD có: 

\(AD^2=AB^2+BD^2-2AB.BD.cosB\)

\(\Rightarrow\left(\frac{1}{3}\sqrt{252}\right)^2=6^2.BD^2.\cos B\)

\(\Rightarrow BD^2-6BD+8=0\)

\(\Rightarrow BD=4;BD=2\)

Mà theo điều kiện bài => BD = 4 (cm)

Trên đây là bài giải với ĐK: BD là phân giác trong. 
còn nếu BD là phân giác ngoài thì tỉ lệ: \(\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{BC}\Rightarrow BD=8\left(cm\right)\)