\(P=3n^3-7n^2+3n+6\)

\(=3n^3+2n^2-9n^2-6n+9n+6\)

\(=n^2\left(3n+2\right)-3n\left(3n+2\right)+3\left(3n+2\right)\)

\(=\left(3n+2\right)\left(n^2-3n+3\right)\)

để p là nguyên tố thì 3n+2 hoặc n²-3n+3  phải bằng 1 (nếu cả hai tích số đều lớn hơn 1 => p là hợp số, trái với đầu bài) 

*3n+2=1=>n=-1/3

*n²-3n+3=1<=>n²-3n+2=0

\(\Leftrightarrow n^2-2\times\frac{3}{2}n+\frac{9}{4}-\frac{1}{4}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(n-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{1}{4}=\left(-\frac{1}{2}\right)^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2\)

                            \(\orbr{\begin{cases}n-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\\n-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}n=2\\n=1\end{cases}}}\)

nếu n= 2 thì (3n+2)(n²-3n+3)=(3.2+2).1=8 (ko phải số nguyên tố nên ta loại)

vậy n=1 

Với n=0 => 3ⁿ + 9n + 36 = 37 là số nguyên tố

Với n>0 => 3ⁿ chia hết chi 3, 9n chia hết cho 3, 36 chia hết chi 3 mà 3ⁿ + 9n + 36 > 3 nên 3ⁿ + 9n + 36 là hợp số

Vậy n=0

3ⁿ +9n + 36 chia hết cho 3 khi n thuộc N* (và tổng khác 3)

=> Là hợp số

=> n không thuộc N* và n tự nhiên 

=> n = 0 

b) n = 0 ta có: 3n + 6 = 30 + 6 = 7 là số nguyên tố

n ≠ 0 ta có 3n ⋮ 3 ; 6 ⋮ 3 nên 3n + 6 ⋮ 3 ; 3n + 6 > 3

Số 3n + 6 là hợp số vì ngoài ước 1 và chính nó còn có ước là 3.

Vậy với n = 0 thì 3n + 6 là số nguyên tố.

Nếu n>0 => 3ⁿ+9n+36  chia hết cho 3 là hợp số ( loại )

Nếu n=0 => 3ⁿ+9n+36 = 1+0+36 =37 là số nguyên tố (nhận)

Vậy n=0

Do \(2n+1\) và \(3n+1\) là các số chính phương dương nên tồn tại các số nguyên dương a,b sao cho \(2n+1\)\(=a^2\) và \(3n+1=b^2\). Khi đó ta có:

\(2n+9=25.\left(2n+1\right)-16.\left(3n+1\right)=25a^2-16b^2=\left(5a-4b\right).\left(5a+4b\right)\)

Do \(2n+9\) là nguyên tố,\(5a+4b>1\) và \(5a+4b>5a-4b\) nên ta phải có \(5a-4b=1\), tức là: \(b=\dfrac{5a-1}{4}\)

\(\Rightarrow\) ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}2n+1=a^2\left(1\right)\\3n+1=\dfrac{\left(5a-1\right)^2}{16}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Từ (1) : \(2n+1=a^2\Rightarrow n=\dfrac{a^2-1}{2}\) và a > 1 ( do n>0)

Thay vào (2): \(\dfrac{3.\left(a^2-1\right)}{2}+1=\dfrac{\left(5a-1\right)^2}{16}\)  => (a - 1).(a - 9) = 0

=> a = 9. Từ đó ta có n = 40

Vậy duy nhất một giá trị n thỏa mãn yêu cầu đề bài là : n = 40