Một số có hai chữ số tận cùng bằng 25 \(⋮\) 25. Một số \(⋮\) 4 và 25 thì \(⋮\) 100( 4 và 25 nguyên tố cùng nhau) 

Mặt khác: \(\left(2^{10}\right)+1⋮25\)và \(2^9+2^{99}⋮4\)

Ta có: 

\(2^9-2^{99}=\left(2^9+2^{19}\right)-\left(2^{19}+2^{29}\right)+\left(2^{29}+2^{39}\right)-...+...-\left(2^{79}+2^{89}\right)+\left(2^{89}+2^{99}\right)\)

\(=\left(1+2^{10}\right)\cdot\left(2^9-2^{19}+2^{29}-2^{39}+....+2^{99}\right)\)
\(\Rightarrow2^9+2^{99}⋮25\)

\(\Rightarrow2^9+2^{99}⋮100\)

Bài làm

Cách 1: ta có:
A= 2^9 +2^99=2^2(2^7 + 2^97)=4((2^7 + 2^97) đồng dư 0 (mod 4).
2^5 = 32 đồng 7 (mod 25) 
=> 2^10 đồng dư 7^2 (mod 25) đồng dư -1(mod 25).
mặt khác:
A= 2^9 +2^99 =2^9(1+2^90) 
mà (1+2^90) = 1 + (2^10)^9 đồng dư 1 -1=0 (mod 25)
=> 2^9 +2^99 đồng dư 0 (mod 25)
BSCNN của 4 và 25 =100
=> A đồng dư 0 (mod 100)
hay A chia hết cho 100.

Lời giải:
a)

Ta có:

\(1991\equiv 1\pmod {10}\Rightarrow 1991^{1997}\equiv 1^{1997}\equiv 1\pmod {10}(1)\)

\(1997\equiv 7\pmod {10}\Rightarrow 1997^{1996}\equiv 7^{1996}\pmod {10}(2)\)

Mà \(7^2\equiv -1\pmod {10}\Rightarrow 7^{1996}\equiv (-1)^{998}\equiv 1\pmod {10}(3)\)

Từ \((1);(2);(3)\Rightarrow 1991^{1997}-1997^{1996}\equiv 1-1\equiv 0\pmod {10}\) (đpcm)

b)

\(2^9+2^{99}=2^9(1+2^{90})\)

Ta thấy $2^{10}=1024\equiv -1\pmod {25}$
$\Rightarrow 2^{90}\equiv (-1)^9\equiv -1\pmod {25}$

$\Rightarrow 1+2^{90}\equiv 0\pmod {25}$ hay $1+2^{90}\vdots 25$

Mà $2^9\vdots 4$

Do đó:

$2^9+2^{99}=2^9(1+2^{90})\vdots 100$ (đpcm)

#)Giải :

a) Đặt A = 2⁹ + 2⁹⁹ = 2⁹ + ( 2¹¹)⁹ 

A = ( 2 + 2¹¹)( 2⁸ - 2⁷ x 2¹¹ + ... - 2 x 2⁷⁷ + 2⁸⁸)

Nhân tử thứ nhất 2 + 2¹¹ = 2050

Nhân tử thứ hai là một số chẵn = 2A ( vì là tổng hiệu của các bội của 2 ) 

=> A = 2050 x 2A = 4100 x A => A chia hết cho 100

#)Giải :

b) A = 36³⁸+41⁴³

A = 36³³ . 36⁵ + 41³³

A = 36³³ . 36⁵ + 36³³ - 36³³ + 41³³

A = 36³³ ( 36⁵ + 1 ) - (36³³ - 41³³)

A = 77.Q1 - 77.Q2

=> A chia hết cho 77

             #~Will~be~Pens~#

๖²⁴ʱŤ.Ƥεɳɠʉїɳş༉ ( Team TST 14 ):ai cho bạn cái công thức mà \(a^n-b^n⋮a+b????\)

Ta có:\(7\cdot11=77\) mà \(\left(7;11\right)=1\) nên ta cần CM \(36^{38}+41^{43}⋮11\) và 7.

Ta lại có:

\(36^{38}+41^{43}\)

\(=\left(36^{38}-1^{38}\right)+\left(41^{43}+1^{43}\right)\)

\(=35A+42B⋮7\left(1\right)\)

Mặt khác:

\(36^{38}+41^{43}\)

\(=\left(36^{38}-3^{38}\right)+\left(41^{33}+3^{33}\right)+\left(3^{38}-3^{33}\right)\)

\(=33P+44Q+3^{33}\left(3^5-1\right)\)

\(=11\left(3P+4Q+2.3^{33}\right)⋮11\left(2\right)\)

Từ (1);(2) suy ra  đpcm.

\(A=2^9+9^{99}\)

\(A=\left(2^4\right)^2.2+\left(9^2\right)^{49}.9\)

\(A=\left(...6\right)^2.2+\left(...1\right)^{49}.9\)

\(A=\left(....2\right)+\left(...9\right)̸\)

\(A=\left(...1\right)\)không chia hết cho 10

hả , vậy là ko chia hết sao, kì vậy

a có:
A= 2^9 +2^99=2^2(2^7 + 2^97)=4((2^7 + 2^97) đồng dư 0 (mod 4).
2^5 = 32 đồng 7 (mod 25) 
=> 2^10 đồng dư 7^2 (mod 25) đồng dư -1(mod 25).
mặt khác:
A= 2^9 +2^99 =2^9(1+2^90) 
mà (1+2^90) = 1 + (2^10)^9 đồng dư 1 -1=0 (mod 25)
=> 2^9 +2^99 đồng dư 0 (mod 25)
BSCNN của 4 và 25 =100
=> A đồng dư 0 (mod 100)
hay A chia hết cho 100.

a) 2^1 + 2^2 +2^3 +....+2^99+2^100 chia hết cho 3

(2^1 + 2^2) + (2^3+2^4)+.....+(2^99+2^100)

2.(1+2)+2^3.(1+2)+....+2^99(1+2)

(2+2^3+...+2^99).(1+2)

(2+2^3+...+2^99).3

Vì 3 chia hết cho 3 nên (2+2^3+...+2^99).3 chia hết cho 3

hay  2^1 + 2^2 +2^3 +....+2^99+2^100 chia hết cho 3

Ta co

A=2-2²+2³-....-2⁹⁸+2⁹⁹-2¹⁰⁰

  =2(1-2+4)-....-2⁹⁸(1-2+4)

 =2.3-...-2⁹⁸.3\(⋮3\)

Ma A chia het cho 2

  (2;3)=1

=> A chia het cho 6(DPCM)

 C = 2+2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 ..... + 2^97 + 2^98 + 2^99 + 2^100

    = ( 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5)+........+  (2^97 + 2^98 + 2^99 + 2^100 )

    = 2(1+2+2^2 + 2^3 + 2^4)+..........+ 2^96(1+2+2^2 + 2^3 + 2^4)

    =2.31 +...........+2^96.31

    = 31(2+....+2^96)

Vì  31(2+....+2^96) chia hết cho 31

nên C chia hết cho 31

Nhớ bấm đúng cho mình nhé bạn!!!!!!!!

\(C=2+2^2+...+2^{100}\)

\(C=\left(2+2^2+2^3+2^4+2^5\right)+\left(2^5+2^6+2^7+2^9+2^{10}\right)...+\left(2^{96}+2^{97}+2^{98}+2^{99}+2^{100}\right)\)

\(C=2.\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)+2^5\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)+...+2^{96}\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)\)

\(C=2.31+2^5.31+...+2^{96}.31\)

\(C=31.\left(2+2^5+...+2^{96}\right)\)(VÌ TÍCH CÓ THỪA SỐ 31 NÊN CHIA HẾT CHO 31)