a) xét ΔHED và ΔDEF có 

\(\widehat{EHD}=\widehat{EDF}=\)90^o

\(\widehat{E} chung\)

=> ΔHED ∼ ΔDEF (gg)

b) Xét ΔDEF có \(\widehat{D}=\)90^o

=> DE²+DF²=EF²

=>6²+8²=EF²

=> EF=10 cm

S_ΔDEF=\(\dfrac{ED.DF}{2}=\dfrac{DH.EF}{2}\)=> ED.DF=DH.EF => 6.8=DH.10

=> DH =4,8 cm

c) Xét ΔDEH có \(\widehat{EHD}=90\)^o

=> HD².HE²=ED²

=>4.8²+HE²=6²

=> HE=3.6

ta lại có DI là phân giác 

=> \(\dfrac{EI}{IH}=\dfrac{ED}{HD}\)

=>\(\dfrac{EI}{EH-EI}=\dfrac{6}{4.8} \)=>\(\dfrac{EI}{3.6-EI}=\dfrac{6}{4.8}\)=>EI=2

=> IH=EH-EI=3.6-2=1.6

a) Xét ΔHED vuông tại H và ΔDEF vuông tại D có

\(\widehat{HED}\) chung

Do đó: ΔHED\(\sim\)ΔDEF(g-g)

b) Áp dụng định lí Pytago vào ΔDEF vuông tại D, ta được:

\(EF^2=DE^2+DF^2\)

\(\Leftrightarrow EF^2=6^2+8^2=100\)

hay EF=10(cm)

Ta có: ΔHED\(\sim\)ΔDEF(cmt)

nên \(\dfrac{DH}{FD}=\dfrac{ED}{EF}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

\(\Leftrightarrow DH=\dfrac{DE\cdot DF}{EF}=\dfrac{6\cdot8}{10}=\dfrac{48}{10}=4.8\left(cm\right)\)

Vậy: EF=10cm; DH=4,8cm

a: Ta có: ΔDEF cân tại D

mà DI là đường trung tuyến

nên DI là phân giác

b: Xét ΔDMI vuông tại M và ΔDNI vuông tại N có

DI chung

\(\widehat{MDI}=\widehat{NDI}\)

DO đó; ΔDMI=ΔDNI

Suy ra: IM=IN

hay ΔIMN cân tại I

\(\text{#TNam}\)

`a,` Xét Tam giác `HED` và Tam giác `HFD` có

`DE = DF (\text {Tam giác DEF cân tại D})`

\(\widehat{E}=\widehat{F}\) `(\text {Tam giác DEF cân tại D})`

`=> \text {Tam giác HED = Tam giác HDF (ch-gn)}`

`b,` Vì Tam giác `HED =` Tam giác `HFD (a)`

`-> HE = HF (\text {2 cạnh tương ứng})`

Xét Tam giác `HEM` và Tam giác `HFN` có:

`HE = HF (CMT)`

\(\widehat{E}=\widehat{F}\) `(a)`

\(\widehat{EMH}=\widehat{FNH}=90^0\)

`=> \text {Tam giác HEM = Tam giác HFN (ch-gn)}`

`-> EM = FN (\text {2 cạnh tương ứng})`

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}DE=MD+ME\\DF=ND+NF\end{matrix}\right.\)

Mà `DE = DF, ME = NF`

`-> MD = ND`

Xét Tam giác `DMN: DM = DN (CMT)`

`-> \text {Tam giác DMN cân tại D}`

`->`\(\widehat{DMN}=\widehat{DNM}=\)\(\dfrac{180-\widehat{A}}{2}\)

Tam giác `DEF` cân tại `D`

`->`\(\widehat{E}=\widehat{F}=\)\(\dfrac{180-\widehat{A}}{2}\)

`->`\(\widehat{DMN}=\widehat{E}\)

Mà `2` góc này nằm ở vị trí đồng vị

`-> \text {MN // EF (t/c 2 đt' //)}`

\(a,\left\{{}\begin{matrix}DE=DF\\\widehat{EDI}=\widehat{FDI}\\DI\text{ chung}\end{matrix}\right.\Rightarrow\Delta DEI=\Delta DFI\left(c.g.c\right)\\ \Rightarrow\widehat{DIE}=\widehat{DIF};EI=FI\\ \text{Mà }\widehat{DIE}+\widehat{DIF}=180^0\\ \Rightarrow\widehat{DIE}=\widehat{DIF}=90^0\\ \Rightarrow DI\perp EF\text{ và }I\text{ là trung điểm }EF\\ b,\left\{{}\begin{matrix}DE=DF\\\widehat{EDM}=\widehat{FDM}\\DM\text{ chung}\end{matrix}\right.\Rightarrow\Delta DEM=\Delta DFM\left(c.g.c\right)\\ \Rightarrow ME=MF;\widehat{DEM}=\widehat{DFM}=90^0\\ \Rightarrow\Delta AFM\text{ vuông tại }F\)

a: Xét ΔEDI và ΔFDI có

DE=DF

\(\widehat{EDI}=\widehat{FDI}\)

DI chung

Do đó: ΔEDI=ΔFDI

Xét tam giác DIE và tam giác DIF

Có DI chung

IE=IF (GT)

DE=DF ( vì tam giác DEF cân tại D)

suy ra tam giác DIE =tam giác DIF (c.c.c)

suy ra góc EDI= góc FDI (hai góc tương tứng)

c) Xét tam giác vuông DMI và tam giác vuông DIN

có DI chung, góc EDI= góc FDI (CMT)

suy ra tam giác  DMI = tam giác  DIN (cạnh huyền-góc nhọn)

suy ra DM=DN suy ra tam giác DMN cân tại D

suy ra góc DMN = góc DNM    (2)

suy ra góc MDN +góc DMN + góc DNM  =180⁰  (3)

Từ (2) và (3) suy ra góc MDN +góc DMN + góc DMN  =180⁰

suy ra góc MDN +2.góc DMN   =180⁰suy ra góc DMN=(180⁰-góc MDN ) :2  (4)

LẠi có tam giác DEF cân tại D

suy ra góc DEF= góc DFE    (5)

suy ra góc EDF +góc DEF + góc DFE  =180⁰  (6)

Từ (5) và (6) suy ra góc EDF +góc DEF + góc DEF  =180⁰

suy ra góc EDF +2.góc DEF   =180⁰suy ra góc DEF=(180⁰-góc EDF ) :2  (7)

Từ (4) và (7) suy ra góc DMN = góc DEF

mà góc DMN đồng vị với góc DEF

suy ra MN//EF

d) tam giác DEF cân tại D, I là trung điểm của EF suy ra DI là đường trung tuyến đồng thời là đường cao

suy ra DI vuông góc với EF tại I

Xét tam giác  DIF vuông tại I suy ra DF² = DI²+IF²   (Định lý pytago) (8) 

Xét tam giác  DIN vuông tại N suy ra IN² = DI²- DN²   (Định lý pytago) (9) 

Xét tam giác  FIN vuông tại N suy ra IN² = IF²- NF²   (Định lý pytago) (10) 

Cộng vế của (9) và (10) ta được 2 .IN²=DI²- DN² +IF²- NF²    (11)

Từ (8) suy ra IF²=DF²-DI²   (12)

Thay (12) vào (11) ta được 2 .IN²=DI²- DN² +DF²-DI²- NF²   =DF²- DN² - NF²