a, Gọi d là ƯCLN(2n+2;2n)

=> 2 n + 2 ⋮ d 2 n ⋮ d ⇒ 2 n + 2 - 2 n = 2 ⋮ d

Mà d là ƯCLN nên d là số lớn nhất và cũng là ước của 2.

Vậy d = 2

b, Gọi ƯCLN(3n+2 ;2n+1) = d

Ta có:  3 n + 2 ⋮ d 2 n + 1 ⋮ d ⇒ 2 3 n + 2 ⋮ d 3 2 n + 1 ⋮ d

=>[2(3n+2) – 3(2n+1)] = 1 ⋮ d

Vậy d = 1

1,

\(\frac{2n+2}{2n}\)= \(\frac{2(n+1)}{2n}\)=\(\frac{n+1}{n}\)

=> \(\frac{2n+2}{n+1}\)= 2

=> ƯCLN(2n+2: 2n) = 2

Đặt UCLN(3n  +1 ; 2n  + 1) = d

2n + 1 chia hết cho d => 6n + 3 chia hết cho d

3n + 1 chia hết cho d => 6n  +2 chia hết cho d

=> [(6n + 3) - (6n  +2)] chia hết cho d

1 chia hết cho d  => d = 1

UCLN(2n + 1 ; 3n  +1) = 1 

Gọi \(ƯCLN\left(2n+1,3n+5\right)=d.\) 

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+1⋮d\\3n+5⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}6n+3⋮d\\6n+10⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(6n+10\right)-\left(6n+3\right)⋮d\Rightarrow7⋮d\Rightarrow d\in\left\{-7;-1;1;7\right\}\)

vậy \(d\in\left\{-7;-1;4;7\right\}\)

gọi d \(\in\) ƯC(2n+1;3n+5), d\(\in\)N*

=> 2n+1\(⋮\) d và 3n+5 \(⋮\)d

=>3(2n+1)\(⋮\)d và 2(3n+5)\(⋮\)d.

=>6n+3 \(⋮\)d và 6n+10 \(⋮\)d

=> (6n+10)-(6n+3)\(⋮\)d.

=>7 \(⋮\)d

=> d \(\in\)Ư(7)={1;7}

- xét: 2n+1 \(⋮\)7

=>2n+1+7\(⋮\)7 (vì 7\(⋮\)7)

=>2n+8 \(⋮\)7 

=>2(n+4)\(⋮\)7 

=>n+4 \(⋮\)7 ( vì (2;7)=1)

=>n+4=7k ( k\(\in\)N*)

=>n=7k-4.

khi đó: 3n+5=3.(7k-4)+5 = 21k-12+5 =  21k-7 \(⋮\)  7 

vậy ƯCLN của (2n+1 và 3n+5) = 7 khi n=7k-4( k\(\in\)N*)

và ƯCLN của (2n+1 và 3n+5) = 1 khi n khác 7k-4( k\(\in\)N*)

chúc bạn năm mới vui vẻ, k nha. đúng 100% luôn.

CẢM ƠN

Gọi ƯCLN ( 2n + 3; 3n + 2 ) là d

=> 2n + 3 \(⋮\)d => 6n + 9 \(⋮\)d

=> 3n + 2 \(⋮\)d => 6n + 4 \(⋮\)d

Vì 2 biểu thức cùng chia hết cho d

=> 6n + 9 - 6n - 4 \(⋮\)d

hay 5 \(⋮\)d

Mà d lớn nhất => d = 5

Vậy................

  :Gọi d là ƯCLN của 2n+3 và 3n+2

Ta thấy : 2 ( 2n + 3 ) - 3 ( 3n + 2 ) <=> ( 6n + 6  ) - ( 6n + 6 ) = 0

=> UCLN của nó chỉ có thể là 1 

Vây UCLN của 2n+3 và 3n+2 là 1

Giải
Gọi d là ƯCLN(2n+3;3n+2)
Suy ra \(\orbr{\begin{cases}2n+3:d\\3n+2:d\end{cases}}\)=>\(\orbr{\begin{cases}3\left(2n+3\right):d\\2\left(3n+2\right):d\end{cases}}\)=>\(\orbr{\begin{cases}6n+9:d\\6n+4:d\end{cases}}\)=>(6n+9)-(6n+4):d => 5 : d
=>d thuộc Ư(5)={1;5} mà d là số lớn nhất => d=5
       Vậy ƯCLN(2n+3;3n+2)=5
 

Bài 1:

Vì ƯCLN $(a,b)=20$ nên $a\vdots 20; b\vdots 20$

$\Rightarrow a-b\vdots 20$ hay $48\vdots 20$ (vô lý)

Do đó không tồn tại $a,b$ thỏa mãn điều kiện đề bài.

Bài 2:

a) Đề sai. Bạn cho $n=3$ thì $5n+5=20, 3n+1=10$. Hai số này có ƯCLN là $10$ nên không nguyên tố cùng nhau. 

b) Gọi ƯCLN của $2n-1$ và $9n+4$ là $d$. Khi đó:

\(\left\{\begin{matrix} 2n-1\vdots d\\ 9n+4\vdots d\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 18n-9\vdots d\\ 18n+8\vdots d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow (18n+8)-(18n-9)\vdots d\) hay $17\vdots d$

$\Rightarrow d=1$ hoặc $17$

\(a,76=2^2\cdot19\\ 1995=3\cdot5\cdot7\cdot19\\ \RightarrowƯCLN\left(76,1995\right)=19\)

\(b,\) Gọi \(d=ƯCLN\left(2n+1,3n+1\right)\)

\(\Rightarrow2n+1⋮d;3n+1⋮d\\ \Rightarrow3\left(2n+1\right)-2\left(3n+1\right)⋮d\\ \Rightarrow1⋮d\\ \Rightarrow d=1\)

Vậy \(ƯCLN\left(2n+1,3n+1\right)=1\)

a: UCLN(76;1995)=19

a: UCLN(3n+1;3n+10)=9

Lời giải:

a. Gọi d là ƯCLN của $3n+1, 3n+10$

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3n+1\vdots d\\ 3n+10\vdots d\end{matrix}\right.\Rightarrow (3n+10)-(3n+1)\vdots d\)

\(\Rightarrow 9\vdots d\)

\(\Rightarrow d=\left\{1;3;9\right\}\)

Mà $3n+1\vdots d$ nên $d$ không thể là $3,9$

$\Rightarrow d=1$

Vậy ƯCLN $(3n+1,3n+10)=1$

b.

Gọi $d$ là ƯCLN $(2n+1,n+3)$

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2n+1\vdots d\\ n+3\vdots d\end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} 2n+1\vdots d\\ 2n+6\vdots d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow (2n+6)-(2n+1)\vdots d\Rightarrow 5\vdots d\)

\(\Rightarrow d\in\left\{1;5\right\}\)