Bài toán 104

Một số chính phương là số viết được dạng tích của một số tự nhiên với chính nó.

Ta có:

  - Số \(14\) không phải là số chính phương

  - Số \(144\) là số chính phương vì \(144=12\times12=12^2\)

  - Số \(1444\) là số chính phương vì \(1444=38\times38=38^2\) .

Bạn hãy tìm tất cả các số có dạng \(144...4\) (số có các chữ số 4 sau chữ số 1) mà là số chính phương?

----------------------

Các bạn trình bày lời giải đầy đủ vào ô Gửi Ý kiến phía dưới. Năm bạn có lời giải hay và sớm nhất sẽ được cộng/thưởng 1 tháng VIP của Online Math. Đáp án và giải thưởng sẽ được công bố vào Thứ Sáu ngày 3/6/2016. Câu đố tiếp theo sẽ lên mạng vào Thứ Bảy ngày 4/6/2016.

Xem thêm:

Đặt $a_1=14;a_2=144;a_3=1444;a_n=144...4$a1=14;a2=144;a3=1444;an=144...4, ta xét các trường hợp:

a, $n<4$n<4 

Ta dễ dàng thấy $a_1=14$a1=14 không phải là số chính phương và $a_2=144=12^2$a2=144=122 ; $a_3=1444=38^2$a3=1444=382 là các số chính phương.

b, $n\ge4$n≥4 

Ta có: $a_n=144...4=10000b+4444\left(b\in Z\right)$an=144...4=10000b+4444(b∈Z) 

Vì $10000\vdots16$10000⋮16 và 4444 chia 16 dư 12 nên $a_n$an chia 16 dư 12

Giả sử $a_n$an là số chính phương, vì $a_n\vdots4$an⋮4 nhưng không chia hết cho 16 nên:

$a_n=\left(4k+2\right)^2=16\left(k^2+k\right)+4$an=(4k+2)2=16(k2+k)+4 $\Rightarrow$⇒ $a_n$an chia 16 dư 4. Vô lý.

Vậy $a_n$an không phải là số chính phương.

Kết luận: Trong dãy số tự nhiên $a_n=144...4$an=144...4, chỉ có $a_2=144$a2=144 và $a_3=1444$a3=1444 là các số chính phương.

Đặt a1=14;a2=144;a3=1444;an=144..4, ta xét các trường hợp a, n<4.

Ta dễ dàng thấy a1=14 không phải là số chính phương và a2=144=122 ; a3=1444=382 là các số chính phương.

b,n>4

Ta có : an=144..4=10000b+4444(bεZ) 

Vì 10000:16 và 4444 chia 16 dư 12 nên an chia 16 dư 12

Giả sử an=(4k+2)2=16(k2+k)+4=>an chia 16 dư 4. Vô lý.

Vậy an không phải là số chính phương.

Kết luận : Trong dãy số tự nhiên an=144..4,, chỉ có a2=144 và a3=1444 là các số chính phương

 giúp với

đặt n^2 = aabb= 1000a +100a +10b+b 
= 10(100a +b) + 100a+b = 11(100a+b) 
=> 100a+b = 99a +(a + b) chia hết cho 11 
=> a+b chia hết cho 11 
mà a+b<18 => a+b = 11 (vì a khác 0) 
thay a= 2 đến 9, được b tương ứng thay vào thử lại chọn 
a= 7, b= 4 
số phải tìm : aabb =7744

tất cả các chữ số chính phương có 4 chữ số có dạng abcd  là:

1111                    1144                      1166                         1199

1100                    1155                      2200                       2244

2255                     2211                       2266                    

2299                     3300                    3311                       3344

3355                   3366                      3399                       4400

4411                      4444                 4455                        4466

4499                    5500                5511                         5544

5555                    5566                 5599                       6600

6611                     6644               6655                         6666

6699                     7700              7711                      7744

7755                      7766               7799                     8800

8811                     8844              8855                       8866

8899                      9900              9911                    9944

9955                    9966                    9999.

=> có 54 số viết được tất cả

Đặt \(n^2=aabb=1000a+100a+10b+b\)

\(=10.\left(100a+b\right)+100a+b=11.\left(100a+b\right)\)

\(\Rightarrow100a+b=99a+\left(a+b\right)⋮11\)

\(\Rightarrow a+b⋮11\)

Mà \(a+b< 18\Rightarrow a+b=11\)

Thay \(a=2\) đến \(9\), được \(b\) tương ướng thay vào thử lại chọn

\(a=7;b=4\)

Số phải tìm : \(aabb=7744\)

bài toán trên online math bạn tự tìm hiểu

còn bài cuối chỉ cần bạn đặt \(n^{1994}+n^{1993}=\left(n+1\right)n^{1993}\)

mà số nguyên tố nếu mình nhớ không nhầm thì thường được biểu diễn dưới dạng là 4k+1 thì phải hay còn dạng nữa mình không nhớ lắm hay là 3k+1 gì đó nữa 

lâu nay lười giải quá nhưng thôi mình giải cho bạn.

câu 1: ta gọi 2 số đó là a và b. Ta có:

\(a=x^2+y^2\)

\(b=n^2+m^2\)

=> \(ab=\left(x^2+y^2\right)\left(n^2+m^2\right)\)

bạn nhân nó ra sau đó cộng thêm 2nmxy và trừ 2nmxy rồi áp dụng hằng đẳng thức 1 và 2

câu 2: gọi 3 số đó là gì thì tùy cậu nhưng ở đây gọi là n, n+1, n+2 cho thuận dấu với trường hợp k=3

\(n^2+\left(n+1\right)^2+\left(n+2\right)^2=3n^2+6n+5\)

rồi ta thấy ra vế phải không thể nào rút ra được bình phương của một tổng tức áp dụng theo hằng đẳng thức 1 nên tổng bình phương của k=3 số nguyên liên tiếp không thể là số chính phương 

với trường hợp k=4 và 5 làm tương tự

Sau khi thử bằng pascal thì em thấy bài này hình như có vô số nghiệm (Chắc là sai đề). Nhưng nếu ai tìm được công thức tổng quát của k thì hay biết mấy.

K=16, K=225;

k = 1; k = 16; k = 225 :v