Tính diện tích của một tứ giác lồi ABCD có các đường chéo AC = m, BD = n và tạo với nhau một góc nhọn \(\alpha\)
Những câu hỏi liên quan
Cho tứ giác lồi ABCD có các đường chéo \(AC = x,BD = y\) và góc giữa AC và BD bằng \(\alpha .\) Gọi S là diện tích của tứ giác ABCD.
a) Chứng minh \(S = \frac{1}{2}xy.\sin \alpha \)
b) Nêu kết quả trong trường hợp \(AC \bot BD.\)
Tham khảo:
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
a) Áp dụng công thức \(S = \frac{1}{2}ac.\sin B\), ta có:
\(\begin{array}{l}{S_{OAD}} = \frac{1}{2}.OA.OD.\sin \alpha ;\quad {S_{OBC}} = \frac{1}{2}.OB.OC.\sin \alpha ;\\{S_{OAB}} = \frac{1}{2}.OA.OB.\sin ({180^o} - \alpha );\quad {S_{OCD}} = \frac{1}{2}.OD.OC.\sin ({180^o} - \alpha ).\end{array}\)
Mà \(\sin ({180^o} - \alpha ) = \sin \alpha \)
\( \Rightarrow {S_{OAB}} = \frac{1}{2}.OA.OB.\sin \alpha ;\quad {S_{OCD}} = \frac{1}{2}.OD.OC.\sin \alpha .\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{ABCD}} = \left( {{S_{OAD}} + {S_{OAB}}} \right) + \left( {{S_{OBC}} + {S_{OCD}}} \right)\\ = \frac{1}{2}.OA.\sin \alpha .(OD + OB) + \frac{1}{2}.OC.\sin \alpha .(OB + OD)\\ = \frac{1}{2}.OA.\sin \alpha .BD + \frac{1}{2}.OC.\sin \alpha .BD\\ = \frac{1}{2}.BD.\sin \alpha .(OA + OC)\\ = \frac{1}{2}.AC.BD.\sin \alpha = \frac{1}{2}.x.y.\sin \alpha .\end{array}\)
b) Nếu \(AC \bot BD\) thì \(\alpha = {90^o} \Rightarrow \sin \alpha = 1.\)
\( \Rightarrow {S_{ABCD}} = \frac{1}{2}.x.y.1 = \frac{1}{2}.x.y.\)
Đúng 0
Bình luận (0)
15 tháng 1 2022 lúc 20:10
Đố: Cho tứ giác ABCD có \(AC=m,BD=n\). Góc nhọn tạo bởi hai đường chéo bằng \(\alpha\). Chứng minh rằng:
\(S_{ABCD}=\frac{1}{2}mn\sin\alpha\). Từ đó hãy giải thích tại sao tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau thì có diện tích bằng nửa tích hai đường chéo.
Có hình vẽ :
Dễ thấy SABCD = \(\frac{1}{2}\left(AH+CK\right).BD\)
mà lại có \(AH=AO.sin\alpha\) ; \(CK=OC.sin\alpha\)
=> SABCD = \(\frac{1}{2}\sin\alpha.AC.BD\)
Khi 2 đường chéo vuông góc với nhau thì
\(H\equiv O\equiv K\Rightarrow AH=AO=CK\)
hay \(sin\alpha=1\)
Khi đó \(S_{ABCD}=\frac{1}{2}mn\)(đpcm)
Tính diện tích tứ giác ABCD, biết độ dài 2 đường chéo AC=m, BD=n, và góc nhọn tạo bởi 2 đường chéo bằng a
Cho tứ giác lồi ABCD có các đường chéo AC và BD bằng nhau. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC. Chứng minh rằng đường thẳng MN tạo với hai đường thẳng AC và BD các góc bằng nhau.
GIÚP MÌNH VỚI MAI PHẢI NỘP RỒI, CẢM ƠN MNG
Cho tứ giác lồi ABCD , 2 đường chéo AC và BD vuông góc với nhau biết AC=m , BD=n , gọi EF là trung điểm của AB và CD . Tính EF
Cho tứ giác lồi ABCD, các cạnh AB và CD bằng nhau nhưng không song song với nhau. chứng minh rằng:
a)Đường thẳng đi qua trung diểm các cạnh BC và AD tạo với các đường thẳng AB và CD những góc nhọn bằng nhau
b)Đường thẳng đi qua trung điểm các đường chéo AC và BD tạo với các cạnh AB và CD những góc nhọn bằng nhau
Cho tứ giác lồi ABCD có AB=CD. Gọi I là trung điểm của đường chéc AC và K là trung điểm của đường chéo BD. Cmr: đường chéo IK tạo với AB và CD những góc bằng nhau.
Cho tứ giác lồi ABCD có AB=CD. Gọi I là trung điểm của đường chéc AC và K là trung điểm của đường chéo BD. Cmr:
đường chéo IK tạo với AB và CD những góc bằng nhau.
Cho tứ giác lồi ABCD, có AB=CD, I là trung điểm của đường chéo AC, K là trung điểm đường chéo BD
CM: IK tạo tạo với AB và CD những góc bằng nhau