a^3+b^3+c^3=3abc

=>(a+b)^3+c^3-3ab(a+b)-3bac=0

=>(a+b+c)(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2)-3ab(a+b+c)=0

=>(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)=0

=>a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0

=>2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0

=>(a-c)^2+(a-b)^2+(b-c)^2=0

=>a=b=c

=>A=(1+b/b)(1+b/b)(1+c/c)

=2*2*2=8

\(a^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abc\)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

ta có : \(a^3+b^3+c^3=3abc\Rightarrow a=b=c\)

\(\Rightarrow\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)=2.2.2=8\)

o0o I am a studious person o0o: Theo em thì: \(a^3+b^3+c^3=3abc\Rightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a=b=c\\a+b+c=0\end{cases}}\) chứ ạ?

Có Thực Dương đâu mak BĐT Cô-si???

\(a^3+b^3+c^3=3abc\)

<=>  \(a^3+b^3+c^3-3abc=0\)

<=>  \(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)

<=>  \(\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\end{cases}}\)

<=>  \(\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\\a=b=c\end{cases}}\)

đến đây ez tự làm nốt nhé, ko ra ib mk

từ đẳng thức: a^3+b^3+c^3=3abc

suy ra a=b=c hoặc a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc=0

thay vào bt M

tìm được M=8 hoặc M=-1

hok tốt

\(a^3+b^3+c^3=3abc\Rightarrow a^3+b^3+3a^2b+3b^2a+c^3-3a^2b-3b^2a-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\\\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\\a=b=c\end{cases}}\).Với a+b+c=0 thì \(\hept{\begin{cases}a+b=-c\\b+c=-a\\c+a=-b\end{cases}\Rightarrow}M=\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}=-1\)

Với a=b=c thì \(M=8\)

Sưả câu 2. a²+b²+c²=3abc

a³ + b³ + c³ = 3abc

⇒ a³ + b³ + c³ - 3abc = 0

⇒ ( a³ + b³ ) + c³ - 3abc = 0

⇒ ( a + b )³ - 3ab( a + b ) + c³ - 3abc = 0

⇒ [ ( a + b )³ + c³ ] - [ 3ab( a + b ) + 3abc ] = 0

⇒ ( a + b + c )[ ( a + b )² - ( a + b ).c + c² ] - 3ab( a + b + c ) = 0

⇒ ( a + b + c )( a² + b² + c² - ab - bc - ac ) = 0

⇒ \(\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\end{cases}}\)

+) a² + b² + c² - ab - bc - ac = 0

⇒ 2( a² + b² + c² - ab - bc - ac ) = 2.0

⇒ 2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2bc - 2ac = 0

⇒ ( a² - 2ab + b² ) + ( b² - 2bc + c² ) + ( a² - 2ac + c² ) = 0

⇒ ( a - b )² + ( b - c )² + ( a - c )² = 0

VT ≥ 0 ∀ a,b,c . Dấu "=" xảy ra khi a = b = c

⇒ a + b + c = 0 hoặc a = b = c ( đpcm )

CM a + b + c = 0 

=> a + b = -c ; b + c = -a ; c+a a = -b 

E = \(\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)=\frac{a+b}{b}\cdot\frac{b+c}{c}\cdot\frac{c+a}{a}=\frac{\left(-a\right)\left(-b\right)\left(-c\right)}{abc}=1\)

Như thế này :

\(a^3+b^3+c^3=3abc\)

=> (a+b)^3 - 3ab(a+b) - 3abc + c^3 = 0

=> ( a+  b +c )^3 - 3(a+b)c(a+b+c) - 3ab(a+b+c) = 0 

=> \(\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b+c\right)^2-3bc-3ac-3ab\right]=0\)

=> ( a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc  - ca ) = 0 

=> 1/2 ( a + b + c )(2a^2 + 2b^2 + 2x^2 - 2ab - 2bc - 2 ca ) = 0

=> 1/2 (a+b+c) [ ( a-  b)^2 + ( b - c)^2 + (c-a)^2]  = 0 

Bì ngoặc thứ hai luôn >= 0 => a + b + c = 0 

hoặc a = b ; b =c = c=a => a = =b =c