Bài 2: Tìm tất cả các đa thức P(x) hệ số nguyên không âm thoả mãn P(3–√3)=2017 và P(1) nhận giá trị nhỏ nhất có thể.
Tìm tất cả các đa thức P(x) bậc nhỏ hơn 4 và thoả mãn hệ thức sau ít nhất 4 giá trị phân biệt của x : x.P(x – 1) = (x – 2).P(x)
\(x.P\left(x-1\right)=\left(x-2\right).P\left(x\right)\) (1)
Thay \(x=0\) vào (1) \(\Rightarrow0.P\left(-1\right)=-2.P\left(0\right)\Rightarrow P\left(0\right)=0\)
\(\Rightarrow x=0\) là 1 nghiệm của đa thức
Thay \(x=2\) vào (1):
\(2.P\left(1\right)=0.P\left(2\right)\Rightarrow P\left(1\right)=0\)
\(\Rightarrow x=1\) là 1 nghiệm của đa thức
\(\Rightarrow\) \(P\left(x\right)\) có ít nhất 2 nghiệm \(x=0;x-1\)
Mà bậc P(x) nhỏ hơn 4 nên P(x) tối đa có bậc 3
\(\Rightarrow P\left(x\right)=k.x.\left(x-1\right).\left(ax+b\right)\) với \(k\ne0\)
Thay vào (1)
\(\Rightarrow x.k\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(ax-a+b\right)=kx\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(ax+b\right)\)
\(\Rightarrow kx\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(ax-a+b-ax-b\right)=0\)
\(\Rightarrow kx\left(x-1\right)\left(x-2\right).\left(-a\right)=0\)
\(\Rightarrow a=0\)
\(\Rightarrow P\left(x\right)=a.x.\left(x-1\right)\) với a là số thực khác 0 bất kì
Bài 1: xác định các số hữu tỉ a,b để đa thức x3 + ax+b chia hết cho đa thức x2-x-2
bài 2:Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm thoả mãn: x-y=x2+xy+y2
Bài 1 :
x2 - x - 2 = x2 - 2x + x - 2
= x( x - 2 ) + ( x - 2 ) = ( x - 2 ) ( x + 1 )
Để x3 + ax + b ⋮ ( x - 2 ) ( x + 1) thì :
x3 + ax + b = ( x - 2 ) ( x + 1 ) . Q
Vì đẳng thức trên đúng với mọi x, do đó :
+) đặt x = 2 ta có :
23 + 2a + b = ( 2 - 2 ) ( 2 + 1 ) . Q
8 + 2a + b = 0
2a + b = -8
b = -8 - 2a (1)
+) đặt x = -1 ta có :
(-1)3 + (-1)a + b = ( -1 - 2 ) ( -1 + 1 ) . Q
-1 - a + b = 0
-a + b = 1 (2)
Thay (1) vào (2) ta có :
-a - 8 - 2a = 1
<=> -3a = 9
<=> a = -3
=> b = 1 + (-3) = -2
Vậy a = -3; b = -2
Tìm đa thức P(x) là 1 đa thức có hệ số nguyên không âm, không vượt quá 8, thoả mãn P(9)=20222023
Tìm đa thức P(x) có hệ số là các số nguyên không âm, không vượt quá 8, thoả mãn P(8)=1995
Tham khảo
+ Nếu P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 4 => P(8) ≥ 84 = 4096 > 1995 => P(x) có bậc bé hơn hoặc bằng 3
+Nếu P(x) có bậc 2 hoặc 1 => P(8) ≤ 8.82 + 8.8 + 8 = 584 < 1995 => P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 3
Từ 2 điều trên => P(x) có bậc 3
P(x)=ax3+bx2+cx+d=ax3+g(x) với g(x)=bx2+cx+dP(x)=ax3+bx2+cx+d=ax3+g(x) với g(x)=bx2+cx+d
Ta có:0≤G(8)≤8.82+8.8+8=5840≤G(8)≤8.82+8.8+8=584
1995=P(8)=a.83+G(8)≤a.83+5841995=P(8)=a.83+G(8)≤a.83+584
a.83+584≥1995⇒a≥1995−58483≈2,75⇒a≥3a.83+584≥1995⇒a≥1995−58483≈2,75⇒a≥3
Mặt khác nếu a ≥ 4 thì P(8)≥4.83=2048>1995P(8)≥4.83=2048>1995 => loại => a < 4
a ≥ 3 mà a < 4 => a = 3
P(x)=3x3+bx2+cx+dP(x)=3x3+bx2+cx+d
1995=P(8)=3.83+G(8)⇒G(8)=4951995=P(8)=3.83+G(8)⇒G(8)=495
Ta tiếp tục đánh giá tương tự như trên với b, c, d (b ≥ n và b < n+1 => b = n)
495=G(8)=b.82+c.8+d≤a.82+8.8+8⇒b≥6,6⇒b≥7495=G(8)=b.82+c.8+d≤a.82+8.8+8⇒b≥6,6⇒b≥7
Nếu b = 8 thì G(8)≥8.82=512>495G(8)≥8.82=512>495 => vô lí => b < 8
Từ 2 điều trên suy ra b = 7.
P(x)=3x3+7x2+cx+dP(x)=3x3+7x2+cx+d
1995=P(8)=3.83+7.82+8c+d⇒8c+d=111995=P(8)=3.83+7.82+8c+d⇒8c+d=11
Nếu c ≥ 2 thì 8c+d≥8.2=16>118c+d≥8.2=16>11 => vô lí => c > 2 => c = 1 hoặc c = 0
+c = 1 thì 8.1+d=11⇒d=38.1+d=11⇒d=3
Đa thức P(x)=3x3+7x2+x+3P(x)=3x3+7x2+x+3
+c = 0 thì 8.0 + d =11 => d = 11 > 8 (loại)
Kết luận: P(x)=3x3+7x2+x+3
+ Nếu P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 4 => P(8) ≥ 84 = 4096 > 1995 => P(x) có bậc bé hơn hoặc bằng 3
+Nếu P(x) có bậc 2 hoặc 1 => P(8) ≤ 8.82 + 8.8 + 8 = 584 < 1995 => P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 3
Từ 2 điều trên => P(x) có bậc 3
P(x)=ax3+bx2+cx+d=ax3+g(x) với g(x)=bx2+cx+dP(x)=ax3+bx2+cx+d=ax3+g(x) với g(x)=bx2+cx+d
Ta có:0≤G(8)≤8.82+8.8+8=5840≤G(8)≤8.82+8.8+8=584
1995=P(8)=a.83+G(8)≤a.83+5841995=P(8)=a.83+G(8)≤a.83+584
a.83+584≥1995⇒a≥1995−58483≈2,75⇒a≥3a.83+584≥1995⇒a≥1995−58483≈2,75⇒a≥3
Mặt khác nếu a ≥ 4 thì P(8)≥4.83=2048>1995P(8)≥4.83=2048>1995 => loại => a < 4
a ≥ 3 mà a < 4 => a = 3
P(x)=3x3+bx2+cx+dP(x)=3x3+bx2+cx+d
1995=P(8)=3.83+G(8)⇒G(8)=4951995=P(8)=3.83+G(8)⇒G(8)=495
Ta tiếp tục đánh giá tương tự như trên với b, c, d (b ≥ n và b < n+1 => b = n)
495=G(8)=b.82+c.8+d≤a.82+8.8+8⇒b≥6,6⇒b≥7495=G(8)=b.82+c.8+d≤a.82+8.8+8⇒b≥6,6⇒b≥7
Nếu b = 8 thì G(8)≥8.82=512>495G(8)≥8.82=512>495 => vô lí => b < 8
Từ 2 điều trên suy ra b = 7.
P(x)=3x3+7x2+cx+dP(x)=3x3+7x2+cx+d
1995=P(8)=3.83+7.82+8c+d⇒8c+d=111995=P(8)=3.83+7.82+8c+d⇒8c+d=11
Nếu c ≥ 2 thì 8c+d≥8.2=16>118c+d≥8.2=16>11 => vô lí => c > 2 => c = 1 hoặc c = 0
+c = 1 thì 8.1+d=11⇒d=38.1+d=11⇒d=3
Đa thức P(x)=3x3+7x2+x+3P(x)=3x3+7x2+x+3
+c = 0 thì 8.0 + d =11 => d = 11 > 8 (loại)
Kết luận: P(x)=3x3+7x2+x+3
+ Nếu P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 4 => P(8) ≥ 84 = 4096 > 1995 => P(x) có bậc bé hơn hoặc bằng 3
+Nếu P(x) có bậc 2 hoặc 1 => P(8) ≤ 8.82 + 8.8 + 8 = 584 < 1995 => P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 3
Từ 2 điều trên => P(x) có bậc 3
P(x)=ax3+bx2+cx+d=ax3+g(x) với g(x)=bx2+cx+dP(x)=ax3+bx2+cx+d=ax3+g(x) với g(x)=bx2+cx+d
Ta có:0≤G(8)≤8.82+8.8+8=5840≤G(8)≤8.82+8.8+8=584
1995=P(8)=a.83+G(8)≤a.83+5841995=P(8)=a.83+G(8)≤a.83+584
a.83+584≥1995⇒a≥1995−58483≈2,75⇒a≥3a.83+584≥1995⇒a≥1995−58483≈2,75⇒a≥3
Mặt khác nếu a ≥ 4 thì P(8)≥4.83=2048>1995P(8)≥4.83=2048>1995 => loại => a < 4
a ≥ 3 mà a < 4 => a = 3
P(x)=3x3+bx2+cx+dP(x)=3x3+bx2+cx+d
1995=P(8)=3.83+G(8)⇒G(8)=4951995=P(8)=3.83+G(8)⇒G(8)=495
Ta tiếp tục đánh giá tương tự như trên với b, c, d (b ≥ n và b < n+1 => b = n)
495=G(8)=b.82+c.8+d≤a.82+8.8+8⇒b≥6,6⇒b≥7495=G(8)=b.82+c.8+d≤a.82+8.8+8⇒b≥6,6⇒b≥7
Nếu b = 8 thì G(8)≥8.82=512>495G(8)≥8.82=512>495 => vô lí => b < 8
Từ 2 điều trên suy ra b = 7.
P(x)=3x3+7x2+cx+dP(x)=3x3+7x2+cx+d
1995=P(8)=3.83+7.82+8c+d⇒8c+d=111995=P(8)=3.83+7.82+8c+d⇒8c+d=11
Nếu c ≥ 2 thì 8c+d≥8.2=16>118c+d≥8.2=16>11 => vô lí => c > 2 => c = 1 hoặc c = 0
+c = 1 thì 8.1+d=11⇒d=38.1+d=11⇒d=3
Đa thức P(x)=3x3+7x2+x+3P(x)=3x3+7x2+x+3
+c = 0 thì 8.0 + d =11 => d = 11 > 8 (loại)
Kết luận: P(x)=3x3+7x2+x+3
+ Nếu P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 4 => P(8) ≥ 84 = 4096 > 1995 => P(x) có bậc bé hơn hoặc bằng 3
+Nếu P(x) có bậc 2 hoặc 1 => P(8) ≤ 8.82 + 8.8 + 8 = 584 < 1995 => P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 3
Từ 2 điều trên => P(x) có bậc 3
P(x)=ax3+bx2+cx+d=ax3+g(x) với g(x)=bx2+cx+dP(x)=ax3+bx2+cx+d=ax3+g(x) với g(x)=bx2+cx+d
Ta có:0≤G(8)≤8.82+8.8+8=5840≤G(8)≤8.82+8.8+8=584
1995=P(8)=a.83+G(8)≤a.83+5841995=P(8)=a.83+G(8)≤a.83+584
a.83+584≥1995⇒a≥1995−58483≈2,75⇒a≥3a.83+584≥1995⇒a≥1995−58483≈2,75⇒a≥3
Mặt khác nếu a ≥ 4 thì P(8)≥4.83=2048>1995P(8)≥4.83=2048>1995 => loại => a < 4
a ≥ 3 mà a < 4 => a = 3
P(x)=3x3+bx2+cx+dP(x)=3x3+bx2+cx+d
1995=P(8)=3.83+G(8)⇒G(8)=4951995=P(8)=3.83+G(8)⇒G(8)=495
Ta tiếp tục đánh giá tương tự như trên với b, c, d (b ≥ n và b < n+1 => b = n)
495=G(8)=b.82+c.8+d≤a.82+8.8+8⇒b≥6,6⇒b≥7495=G(8)=b.82+c.8+d≤a.82+8.8+8⇒b≥6,6⇒b≥7
Nếu b = 8 thì G(8)≥8.82=512>495G(8)≥8.82=512>495 => vô lí => b < 8
Từ 2 điều trên suy ra b = 7.
P(x)=3x3+7x2+cx+dP(x)=3x3+7x2+cx+d
1995=P(8)=3.83+7.82+8c+d⇒8c+d=111995=P(8)=3.83+7.82+8c+d⇒8c+d=11
Nếu c ≥ 2 thì 8c+d≥8.2=16>118c+d≥8.2=16>11 => vô lí => c > 2 => c = 1 hoặc c = 0
+c = 1 thì 8.1+d=11⇒d=38.1+d=11⇒d=3
Đa thức P(x)=3x3+7x2+x+3P(x)=3x3+7x2+x+3
+c = 0 thì 8.0 + d =11 => d = 11 > 8 (loại)
Kết luận: P(x)=3x3+7x2+x+3
Tìm đa thức P(x) có hệ số là các số nguyên không âm, không vượt quá 8, thoả mãn P(8)=1995
Hãy tìm 1 tập hợp M gồm 7 số tự nhiên liên tiếp sao cho có một đa thức P(x) bậc 5 thoả mãn các điều kiện sau đây:
a) Tất cả các hệ số của P(x) đều là số nguyên
b) Với năm số k thuộc M (kể cả số lớn nhất và số nhỏ nhất) ta đều có P(k)=k
Hãy tìm 1 tập hợp M gồm 7 số tự nhiên liên tiếp sao cho có một đa thức P(x) bậc 5 thoả mãn các điều kiện sau đây:
a) Tất cả các hệ số của P(x) đều là số nguyên
b) Với năm số k thuộc M (kể cả số lớn nhất và số nhỏ nhất) ta đều có P(k)=k
Câu hỏi của Ngân Hoàng Xuân - Toán lớp 8 | Học trực tuyến
Tìm đa thức P(x) có hệ số là các số nguyên không âm, không vượt quá 8, thoả mãn P(8)=1995
+ Nếu P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 4 => P(8) ≥ 84 = 4096 > 1995 => P(x) có bậc bé hơn hoặc bằng 3
+Nếu P(x) có bậc 2 hoặc 1 => P(8) ≤ 8.82 + 8.8 + 8 = 584 < 1995 => P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 3
Từ 2 điều trên => P(x) có bậc 3
\(P\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d=ax^3+g\left(x\right)\text{ với }g\left(x\right)=bx^2+cx+d\)
Ta có:\(0\le G\left(8\right)\le8.8^2+8.8+8=584\)
\(1995=P\left(8\right)=a.8^3+G\left(8\right)\le a.8^3+584\)
\(a.8^3+584\ge1995\Rightarrow a\ge\frac{1995-584}{8^3}\approx2,75\Rightarrow a\ge3\)
Mặt khác nếu a ≥ 4 thì \(P\left(8\right)\ge4.8^3=2048>1995\) => loại => a < 4
a ≥ 3 mà a < 4 => a = 3
\(P\left(x\right)=3x^3+bx^2+cx+d\)
\(1995=P\left(8\right)=3.8^3+G\left(8\right)\Rightarrow G\left(8\right)=495\)
Ta tiếp tục đánh giá tương tự như trên với b, c, d (b ≥ n và b < n+1 => b = n)
\(\)\(495=G\left(8\right)=b.8^2+c.8+d\le a.8^2+8.8+8\Rightarrow b\ge6,6\Rightarrow b\ge7\)
Nếu b = 8 thì \(G\left(8\right)\ge8.8^2=512>495\) => vô lí => b < 8
Từ 2 điều trên suy ra b = 7.
\(P\left(x\right)=3x^3+7x^2+cx+d\)
\(1995=P\left(8\right)=3.8^3+7.8^2+8c+d\Rightarrow8c+d=11\)
Nếu c ≥ 2 thì \(8c+d\ge8.2=16>11\) => vô lí => c > 2 => c = 1 hoặc c = 0
+c = 1 thì \(8.1+d=11\Rightarrow d=3\)
Đa thức \(P\left(x\right)=3x^3+7x^2+x+3\)
+c = 0 thì 8.0 + d =11 => d = 11 > 8 (loại)
Kết luận: \(P\left(x\right)=3x^3+7x^2+x+3\)
Thử lại thấy đúng
Tìm một đa thức P(x) có các hệ số nguyên thoả mãn:
a) P(x) = 1959 tại ít nhất 5 giá trị nguyên khác nhau của x
b) P(x) = 2009 tại ít nhất một giá trị nguyên của x