( hình hơi xấu :V )

Giả sử tam giác ABC vuông tại A( AB < AC)   có AM là trung tuyến, AH là đường cao

Vì đường cao và đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác tỷ lệ với 12 :13 , do đó đặt AH = 12x,  AM =13 x

Suy ra BM = CM = 13x

Áp dụng định lý Pytago cho \(\Delta AHM\)có:

HM²= AM² -  AH² =  (13x)² - (12x)² = (25 x)² 

=> HM = 5x 

Do đó HC =  5x + 13x = 18x 

Dễ thấy \(\Delta ABC\)Đồng dạng  \(\Delta HAC\)(g.g)

=> \(\frac{AB}{AC}\)= \(\frac{HA}{HC}\)= \(\frac{12x}{18x}\)= \(\frac{2}{3}\)

=> kl

Làm ơn cho tớ hỏi đường cao có phải là đường cao ứng với cạnh huyền không?

Dễ ẹt;

Giả sử \(\Delta\)ABC vuông tại A có phân giác AD sao cho DC=3BD;đương cao AH

Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD tại I => BI vuông góc AB

Vì AD là p/g góc A => góc BAD=45 nên tam giác BAI vuông cân tại B nên BA=BI

Vì BI // AC nên \(\left(\frac{BI}{AC}\right)=\left(\frac{BD}{DC}\right)=\left(\frac{BD}{3BD}\right)=\frac{1}{3}\) (định lí Ta lét)

mà BI=AB nên \(\frac{AB}{AC}=\frac{1}{3}\)

Cm \(\Delta\)AHC đồng dạng \(\Delta\)BHA(g.g) nên \(\frac{BH}{HA}=\frac{HA}{HC}=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{3}\)

nên \(BH=\frac{1}{3}AH\);\(HC=3AH\)nên \(\frac{BH}{HC}=\frac{1}{9}\)

Giả sử 

Δ

ΔABC vuông tại A có phân giác AD sao cho DC=3BD;đương cao AH

Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD tại I => BI vuông góc AB

Vì AD là p/g góc A => góc BAD=45 nên tam giác BAI vuông cân tại B nên BA=BI

Vì BI // AC nên 

(

B

I

A

C

)

=

(

B

D

D

C

)

=

(

B

D

3

B

D

)

=

1

3

( 

AC

BI

​

 )=( 

DC

BD

​

 )=( 

3BD

BD

​

 )= 

3

1

​

  (định lí Ta lét)

mà BI=AB nên 

A

B

A

C

=

1

3

AC

AB

​

 = 

3

1

​

Cm 

Δ

ΔAHC đồng dạng 

Δ

ΔBHA(g.g) nên 

B

H

H

A

=

H

A

H

C

=

A

B

A

C

=

1

3

HA

BH

​

 = 

HC

HA

​

 = 

AC

AB

​

 = 

3

1

​

nên 

B

H

=

1

3

A

H

BH= 

3

1

​

 AH;

H

C

=

3

A

H

HC=3AHnên 

B

H

H

C

=

1

9

HC

BH

​

 = 

9

1

​

câu 2

Gọi tgv trên là tg ABC vuông tại A, AB/AC = 3/4 và AC = 125 

Ta có: AB/AC = 3/4 => AB^2/AC^2 = 9/16 => 16AB^2 - 9AC^2 = 0 (*) 
Ngoài ra: AC^2 = BC^2 - AB^2 = (125)^2 - AB^2 = 15625 - AB^2(**) 
Thay (**) vào (*) ta có: 16AB^2 - 9(15625 - AB^2) = 0 => 25AB^2 - 140625 = 0 
=> AB^2 = 5605. Vì AB > 0 => AB = 75 
AC = 4/3 x AC => AC = 100 

Gọi AH là là đường cao của tgv ABC, ta có BH, CH là hình chiếu của AB và AC. 
Ta dễ dàng thấy tgv ABC, tgv BHA và tgv AHC là 3 tg đồng dạng, Ta có: 
* BH/AB = AB/BC => BH = AB^2/BC = 75^2/125 = 45 
* CH/AC = AC/BC => CH = AC^2/BC = 100^2/125 = 80

(hình bạn tự vẽ nhé)
Gọi hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền là x và y
Ta có : x.y = 2^2 = 4 (tích hai hình chiều bằng bình phương đường cao) (1)
và x + y = 5 => x = 5 - y
Thay vào (1) : (5 - y)y = 4 <=> y^2 - 5y + 4 = 0
<=> (x - 4)(x - 1) = 0 <=> x = 4 hoặc x = 1
=> y = 1 hoặc y = 4
Từ đó suy ra cạnh nhỏ nhất của tam giác là cạnh có hình chiếu bằng 1.
=> (cạnh gv nhỏ nhất)^2 = (hình chiếu nhỏ nhất).(cạnh huyền) = 1.5
=> cạnh góc vuông nhỏ nhất = căn 5

1) Gọi hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền là x và y
Ta có : x.y = 2^2 = 4 (tích hai hình chiều bằng bình phương đường cao) (1)
và x + y = 5 => x = 5 - y
Thay vào (1) : (5 - y)y = 4 <=> y^2 - 5y + 4 = 0
<=> (x - 4)(x - 1) = 0 <=> x = 4 hoặc x = 1
=> y = 1 hoặc y = 4
Từ đó suy ra cạnh nhỏ nhất của tam giác là cạnh có hình chiếu bằng 1.
=> (cạnh gv nhỏ nhất)^2 = (hình chiếu nhỏ nhất).(cạnh huyền) = 1.5
=> cạnh góc vuông nhỏ nhất = căn 5

độ dài cạnh huyền là:

5x2=10(cm)

độ dài cạnh góc vuông thứ hai là:

\(\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt{3}\left(cm\right)\)

độ dài đường cao là:

\(5\cdot5\sqrt{3}:10=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}\left(cm\right)\)

5cm

5⋅5√3:10=5√32(cm)