Theo đề ta có \(\left(x+\frac{1}{y}\right)\in Z\) và \(\left(y+\frac{1}{x}\right)\in Z\)\(\Rightarrow\)\(\left(x+\frac{1}{y}\right)\left(y+\frac{1}{x}\right)\in Z\)

hay \(\left(xy+\frac{1}{xy}+2\right)\in Z\)\(\Rightarrow\)\(\left(xy+\frac{1}{xy}\right)\in Z\)

Suy ra \(\left(xy+\frac{1}{xy}\right)^2\in Z\)\(\Rightarrow\)\(\left(x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2\right)\in Z\)\(\Rightarrow\)\(\left(x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}\right)\in Z\)

Vậy \(x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}\) là số nguyên (đpcm).

\(\left(x+\frac{1}{y}\right)\left(y+\frac{1}{x}\right)=xy+2+\frac{1}{xy}\)

vì 2 nguyên nên \(xy+\frac{1}{xy}\)nguyên

\(\left(xy+\frac{1}{xy}\right)^2=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2\)

nen \(x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}\)nguyên

Vì \(x+\frac{1}{y}\in Z;y+\frac{1}{x}\in Z\)nên \(\left(x+\frac{1}{y}\right)\left(y+\frac{1}{x}\right)\in Z\)

=>\(xy+\frac{1}{xy}\in Z\)

=>\(\left(xy+\frac{1}{xy}\right)^3\)

=>\(x^3y^3+\frac{1}{x^3y^3}+3\left(xy+\frac{1}{xy}\right)\)\(\in Z\)

=>ĐPCM

x+1/y và y+1/x là các số nguyên 

=> (x+1/y).(y+1/x) là số nguyên

<=> xy+1/xy+2 là số nguyên 

<=> xy+1/xy là số nguyên

<=> (xy+1/xy)^2 là số tự nhiên

<=> x^2y^2+1/x^2y^2+2 là số tự nhiên

=> x^2y^2+1/x^2y^2 là số nguyên

=> ĐPCM

k mk nha

cảm ơn bạn/anh/chị/thầy/cô nhiều nha

a)\(\frac{x-1}{5}=\frac{3}{y+4}\Rightarrow\left(x-1\right)\left(y+4\right)=15\)

=>x-1 và y+4 thuộc Ư(15)={±1;±3;±5;±15}

Tới đây bn tự xét nhé nó hơi dài nên mk ngại làm

b)Để P thuộc Z

=>x-2 chia hết x+1

=>x+1-3 chia hết x+1

=>3 chia hết x+1

=>x+1 thuộc Ư(3)={1;-1;3;-3}

=>x thuộc {0;-2;2;-4}

Ta có : \(\dfrac{x}{4}-\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{2}\left(y\ne0\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{xy-4}{4y}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow2xy-8=4y\)

\(\Leftrightarrow xy-2y-4=0\)

\(\Leftrightarrow y\left(x-2\right)=4\)

\(\Leftrightarrow x-2=\dfrac{4}{y}\left(1\right)\)

Mà x, y là các số nguyên .

\(\Rightarrow y\inƯ_{\left(4\right)}\)

\(\Rightarrow y\in\left\{1;-1;2;-2;4;-4\right\}\)

- Thay lần lượt y vào ( 1 ) ta được x lần lượt là : \(\left\{6;-2;4;0;3;1\right\}\)

Vậy ...

Câu 2/

\(\frac{a^2+bc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{b^2+ca}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{c^2+ab}{c^2\left(a+b\right)}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2+bc}{a^2\left(b+c\right)}-\frac{1}{a}+\frac{b^2+ca}{b^2\left(c+a\right)}-\frac{1}{b}+\frac{c^2+ab}{c^2\left(a+b\right)}-\frac{1}{c}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(b-a\right)\left(c-a\right)}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{\left(a-b\right)\left(c-b\right)}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}{c^2\left(a+b\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4-a^4b^2c^2-a^2b^4c^2-a^2b^2c^4\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\ge a^4b^2c^2+a^2b^4c^2+a^2b^2c^4\left(1\right)\)

Ma ta có: \(\hept{\begin{cases}a^4b^4+b^4c^4\ge2a^2b^4c^2\left(2\right)\\b^4c^4+c^4a^4\ge2a^2b^2c^4\left(3\right)\\c^4a^4+a^4b^4\ge2a^4b^2c^2\left(4\right)\end{cases}}\)

Cộng (2), (3), (4) vế theo vế rồi rút gọn cho 2 ta được điều phải chứng minh là đúng.

PS: Nếu nghĩ được cách khác đơn giản hơn sẽ chép lên cho b sau. Tạm cách này đã.

tks bn nhé, bn giúp mk câu 1 được ko

Thỏa theo nguyện vọng mình làm luôn câu 1 cho b luôn :)

Câu 1/

\(A=\frac{\left(x+1\right)\left(x-y\right)}{y^2-xy+1}\)

Điều kiện: \(y^2-xy+1\ne0\)

Với x, y cùng chẵn, lẻ và x lẻ y chẵn thì tử là số chẵn, mẫu là số lẻ nên A sẽ là số chẵn.

Với x chẵn y lẻ thì tử là số lẻ mẫu là số chẵn nên A không phải là số nguyên.

Từ đây ta có được nếu A là số nguyên tố thì A chỉ có thể là 2.

\(A=\frac{\left(x+1\right)\left(x-y\right)}{y^2-xy+1}=2\)

\(\Leftrightarrow2y^2-xy+y-x^2-x+2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(2y+x+1\right)=2\)

\(\Rightarrow\left(x-y,2y+x+1\right)=\left(1,2;2,1\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=0\end{cases}}\)