a: Xét ΔACD và ΔBDC có

AC=BD

AD=BC

CD chung

Do đó: ΔACD=ΔBDC

Suy ra: \(\widehat{ACD}=\widehat{BDC}\)

hay \(\widehat{ODC}=\widehat{OCD}\)

Xét ΔOCD có \(\widehat{ODC}=\widehat{OCD}\)

nên ΔOCD cân tại O

Suy ra: OC=OD

Ta có: OC+OA=AC

OB+OD=BD

mà AC=BD

và OC=OD

nên OA=OB

a: Xét ΔABC và ΔBAD có

AB chung

BC=AD

AC=BD

=>ΔABC=ΔBAD

=>góc OBA=góc OAB

=>OA=OB

OA+OC=AC

OB+OD=BD

mà OA=OB và AC=BD

nên OC=OD

b: Xét ΔEDC có AB//DC

nên EA/AD=EB/BC

mà AD=BC

nên EA=EB

EA+AD=ED

EB+BC=EC

mà EA=EB và AD=BC

nên ED=EC

EA=EB

OA=OB

=>EO là trung trực của AB

EC=ED

OC=OD

=>EO là trung trực của CD

a ) Xét $\Delta$ADC và $\Delta$BCD, ta có:

AD = BC (tính chất hình thang cân)

$\angle$(ADC) = $\angle$(BCD) (gt)

DC chung

Do đó: $\Delta$ADC = $\Delta$BCD (c.g.c) ⇒ $\angle C_1$= $\angle D_1$

Trong $\Delta$OCD ta có: $\angle C_1$= $\angle D_1$ ⇒ $\Delta$OCD cân tại O ⇒ OC = OD (1)

AC = BD (tính chất hình thang cân) ⇒ AO + OC = BO + OD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AO = BO.

b)

$\begin{array}{c}{ADC}^{}=\widehat{BCD}\left(gt\right)\\ \Rightarrow \widehat{ODC}=\widehat{OCD}\end{array}$ 

⇒ ∆ OCD cân tại O

⇒ OC = OD

⇒ OA + AD = OB + BC

Mà AD = BC (tính chất hình thang cân)

⇒ OA = OB

Xét ∆ ADC và ∆ BCD :

AD = BC (chứng minh trên)

AC = BD (tính chất hình thang cân)

CD cạnh chung

Do đó: ∆ ADC = ∆ BCD (c.c.c)

$\Rightarrow {\hat{D}}_1={\hat{C}}_1$

⇒ ∆ EDC cân tại E

⇒ EC = ED nên E thuộc đường trung trực của CD

OC = OD nên O thuộc đường trung trực của CD

E≢ O. Vậy OE là đường trung trực của CD.

BD = AC (chứng minh trên)

⇒ EB + ED = EA + EC mà ED = EC

⇒ EB = EA nên E thuộc đường trung trực AB

E≢ O. Vậy OE là đường trung trực của AB.

Bài 5: 

Xét ΔBAC có BA=BC

nên ΔBAC cân tại B

Suy ra: \(\widehat{BAC}=\widehat{BCA}\)

mà \(\widehat{BAC}=\widehat{ACD}\)

nên \(\widehat{ACB}=\widehat{ACD}\)

hay CA là tia phân giác của \(\widehat{BCD}\)

a) ABCD là hình thang nên AB//CD

CD=2AB ==>AB/CD=1/2

AB//CD, áp dụng định lý Ta-let, ta có

OA/OC=OB/OD=AB/CD=1/2

=>OA/OC=1/2 => OC=2OA

B) Ta có : OA/OC=OB/OD=AB/CD=1/2

==> OD/OB = 2 ==>OD = 2OB

*xét: OC/AC = 2OA/(OA + OC) = 2OA/(OA + 2OA) = 2OA/3OA = 2/3(1);

OD/BD = 2OB/(OD + OB) = 2OB/(2OB + OB) = 2/3(2)
*từ (1),(2) =>OC/AC = OD/BD = 2/3
=>O là trọng tâm tam giác FCD

c)

Vì một đường thẳng song song với AB và CD lần lượt cắt các đoạn thẳng AD, BD,AC và BC tại M, I,K và N nên KN//AB ,IM//AB và IN//AB

MI//AB, áp dụng hệ quả của định lý Ta-let, ta có

MI/AB = DM/AD = DI/IB (1)

IN//AB, áp dụng định lý Ta-let, ta có

CN/BC=DI/IB (2)

Từ (1) và (2), ta có

DM/AD=CN/BC

d)

KN//AB, áp dụng hệ quả của định lý Ta-let, ta có

KN/AB=CN/BC

Ta có :KN/AB=CN/BC và MI/AB=DM/AD

mà DM/AD=CN/BC nên KN/AB=MI/AB => KN=MI