Lời giải:

Ta có:
\(\frac{1}{5^2}=\frac{1}{5.5}< \frac{1}{3.7}\)

\(\frac{1}{9^2}=\frac{1}{9.9}< \frac{1}{7.11}\)

.......

\(\frac{1}{409^2}=\frac{1}{409.409}=\frac{1}{(407+2)(411-2)}=\frac{1}{407.411-2.407+2.411}< \frac{1}{407.411}\)

Cộng theo vế ta có:

\(S<\frac{1}{3.7}+\frac{1}{7.11}+....+\frac{1}{407.411}(*)\)

Mà:

\(\frac{1}{3.7}+\frac{1}{7.11}+....+\frac{1}{407.411}=\frac{1}{4}\left(\frac{4}{3.7}+\frac{4}{7.11}+...+\frac{4}{407.411}\right)\)

\(=\frac{1}{4}\left(\frac{7-3}{3.7}+\frac{11-7}{7.11}+....+\frac{411-407}{407.411}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{11}+....+\frac{1}{407}-\frac{1}{411}\right)\)

\(=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{411}\right)< \frac{1}{4}.\frac{1}{3}=\frac{1}{12}(**)\)

Từ \((*); (**)\Rightarrow S< \frac{1}{12}\)

Ta có đpcm.

S = \(\frac{1}{5^2}+\frac{1}{9^2}+....+\frac{1}{405^2}+\frac{1}{409^2}\)

<=> S =  \(\frac{1}{5\cdot5}+\frac{1}{9\cdot9}+....+\frac{1}{405\cdot405}+\frac{1}{409\cdot409}\)

=> S < \(\frac{1}{5\cdot9}+\frac{1}{9\cdot13}+....+\frac{1}{405\cdot409}+\frac{1}{409\cdot413}\)

(Ta thấy các cơ số lũy thừa cách nhau 4 đơn vị nên ở mẫu biến đổi sao cho hai số cũng cách nhau 4 đơn vị thì sẽ đơn giản hơn)

=> 4S < \(\frac{4}{5\cdot9}+\frac{4}{9\cdot13}+....+\frac{4}{405\cdot409}+\frac{4}{409\cdot413}\)

=> 4S < \(\frac{1}{5}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{13}+....+\frac{1}{405}-\frac{1}{409}+\frac{1}{409}-\frac{1}{413}\)

(Vì hai số ở mẫu cách nhau 4 đơn vị nên ta nhân hai vế cho 4 thì lúc đó ta sẽ tách được hiệu hai phân số) ; (Cuối cùng đơn giản hết đi)

=> 4S < \(\frac{1}{5}-\frac{1}{413}\)

=> 4S < \(\frac{408}{2065}\approx0,2\)

=> S < \(0,05\)

Mà 0,05 < \(\frac{1}{12}\left(\frac{1}{12}\approx0,08\right)\)

Vậy S < \(\frac{1}{12}\)

Nhân S với 4 ta được :

4S = 4/(5x5) + 4/(9x9) + … + 1/(409x409)

Ta thấy:

4/(5x5) < 4/(3x7) = 1/3 – 1/7

4/(9x9) < 4/(7x11) = 1/7 – 1/11

…………

4/(409x409) < 4/(407x411) = 1/407 – 1/411

Mà :

4/(3x7) + 4/(7x11) + …. + 4/(407x411) = 1/3 – 1/411 = 136/411

4S < 136/411

S < 34/411 < 34/408 = 1/12

Hay  S < 1/12

cho S=1/5^2+1/9^2+.........+1/409^2           chứng minh rằng:S<1/12

cậu biết làm không

4S = 4/(5x5) + 4/(9x9) + … + 1/(409x409)

Ta thấy:

4/(5x5) < 4/(3x7) = 1/3 – 1/7

4/(9x9) < 4/(7x11) = 1/7 – 1/11

…………

4/(409x409) < 4/(407x411) = 1/407 – 1/411

Mà :

4/(3x7) + 4/(7x11) + …. + 4/(407x411) = 1/3 – 1/411 = 136/411

4S < 136/411

S < 34/411 < 34/408 = 1/12

Hay  S < 1/12

4S = 4/(5x5) + 4/(9x9) + … + 1/(409x409)

Ta thấy:

4/(5x5) < 4/(3x7) = 1/3 – 1/7

4/(9x9) < 4/(7x11) = 1/7 – 1/11

…………

4/(409x409) < 4/(407x411) = 1/407 – 1/411

Mà :

4/(3x7) + 4/(7x11) + …. + 4/(407x411) = 1/3 – 1/411 = 136/411

4S < 136/411

S < 34/411 < 34/408 = 1/12

Hay  S < 1/12

4S = 4/(5x5) + 4/(9x9) + … + 1/(409x409)

Ta thấy:

4/(5x5) < 4/(3x7) = 1/3 – 1/7

4/(9x9) < 4/(7x11) = 1/7 – 1/11

…………

4/(409x409) < 4/(407x411) = 1/407 – 1/411

Mà :

4/(3x7) + 4/(7x11) + …. + 4/(407x411) = 1/3 – 1/411 = 136/411

4S < 136/411

S < 34/411 < 34/408 = 1/12

Hay  S < 1/12