Ta có tổng:
\(S = \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{9^{2}} + \frac{1}{13^{2}} + \hdots + \frac{1}{409^{2}}\)
Vì \(n \geq 5\), ta có bất đẳng thức:
\(\frac{1}{n^{2}} < \frac{1}{n \left(\right. n - 4 \left.\right)}\)
Bước 2: Áp dụng bất đẳng thứcVới mỗi số hạng \(n^{2}\), ta viết:
\(\frac{1}{n^{2}} < \frac{1}{n \left(\right. n - 4 \left.\right)}\)
Mà ta có:
\(\frac{1}{n \left(\right. n - 4 \left.\right)} = \frac{1}{4} \left(\right. \frac{1}{n - 4} - \frac{1}{n} \left.\right)\)
Khi cộng tất cả các số hạng, các phân số trung gian triệt tiêu nhau, chỉ còn lại số đầu và số cuối. Khi đó:
\(S < \frac{1}{4} \left(\right. \frac{1}{1} - \frac{1}{409} \left.\right)\) \(< \frac{1}{4} \times 1 = \frac{1}{4}\)
Mà \(\frac{1}{4} < \frac{1}{12}\), vậy suy ra:
\(S < \frac{1}{12}\)
Kết luậnTa đã chứng minh được:
\(S < \frac{1}{12}\)
