Cho đường tròn (O;R) đường kính AB cố định. Trên tia đối của tia AB lấy điểm C sao cho AC=R. Kẻ đường thẳng d vuông góc với BC tại C. Gọi D là trung điểm của OA, qua D vẽ dây cung EF bất kì của (O;R). Tia BE cắt d tại M, tia BF cắt d tại N.
a) Khi EF=4R/ căn 5. Tính DE,DF theo R
b) Cho A,B,C cố định.CMR tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN luôn nằm trên 1 đường thẳng cố định khi E chạy trên đường tròn (O)
Cho đường tròn (O;R) đường kính AB cố định. Trên tia đối của tia AB lấy điểm C sao cho AC=R. Kẻ đường thẳng d vuông góc với BC tại C. Gọi D là trung điểm của OA, qua D vẽ dây cung EF bất kì của (O;R). Tia BE cắt d tại M, tia BF cắt d tại N.
a) Chứng minh tứ giác MCAE nội tiếp
b) Chứng minh BE.BM = BF.BN
a: Xét (O) có
ΔBEA nội tiếp
BA là đường kính
=>ΔBEA vuông tại E
góc MCA+góc MEA=90+90=180 độ
=>MCAE nội tiếp
b: góc BFA=1/2*sđ cung BA=1/2*180=90 độ
Xét ΔBFA vuông tại F và ΔBCN vuông tai C có
góc B chung
=>ΔBFA đồng dạng với ΔBCN
=>BF/BC=BA/BN
=>BC*BA=BF*BN
Xét ΔBEA vuông tại E và ΔBCM vuông tại C có
góc EBA chung
=>ΔBEA đồng dạng với ΔBCM
=>BE/BC=BA/BM
=>BC*BA=BE*BM=BF*BN
Cho đường tròn (O) bán kính AB =2R lấy điểm H cố định thuộc tia đối của tia BA đi qua C .Các tia AE,AF cắt d lần lượt tại M và N. 1. Chứng minh tứ giác BEMH nội tiếp và AE.AM=AF.AN 2.Chứng minh khi EF thay đổi thì đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN luôn đi qua một điểm cố định khác A
cho đường tròn (O) có tâm là điểm O, đường kính AB=2R. Trên đường thẳng AB lấy điểm H sao cho B nằm giữa A và H(H không trùng với B), qua H dựng đường thăng d vuông góc với AB. Lấy điểm C cố định thuộc đường thẳng OB(C không trùng với O và B). Qua điểm C kẻ đường thẳng a bất kì cắt (O) tại E,F(a không trùng với AB).Các tia AE, AF cắt d lần lượt tại M và N.
1Chứng minh tứ giác BEMH nội tiếp đường tròn
2.Chứng minh rằng tam giác ABF đồng dạng tam giác AHN và đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN luôn đi qua 1điểm cố định khác A khi đường thẳng a thay đổi.
3.Cho AB = 4cm, BC = 1cm, HB = 1cm. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác AMN.
Bạn nào có tâm giúp mik, sắp thi cấp 3 rồi......
Làm giúp mình câu c với. Cám ơn các bạn!
Cho (O;R) đường kính AB cố định. Trên tia đối của AB lấy C sao cho AC = R. Kẻ đường thẳng vuông góc với BC tại C. Gọi d là trung điểm OA, qua d vẽ dây cung EF bất kì của (O) (È không là đường kính) . Tia BE cắt d tại M , BF cắt d tại N .
a) C/m : MCAE nội tiếp
b) BE . BM = BF . BN
c) Chứng minh tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi dây cung EF thay đổi
Cho nửa (O) đường kính AB . Gọi C là điểm cố định thuộc đoạn thẳng OB . Kẻ đường thẳng d vuông góc với AB tại điểm C cắt nửa (O) tại M . Trên cung nhỏ MB lấy điểm N bất kì , tia AN cắt d tại điểm F , tia BN cắt d tại điểm E . Đường thẳng AE cắt nửa (O) tại D . Chứng minh F làm tâm đường tròn nội tiếp ΔCDN
góc ADB=1/2*180=90 độ
góc ANB=góc ADB=90 độ
Xét ΔEAB có
BD,AN,EC là đường cao
BD cắt EC tại F
=>F là trựctâm
góc ADF+góc ACF=180 độ
=>ADFC nội tiếp
góc EDF+góc ENF=180 độ
=>EDFN nội tiếp
góc CDF=góc CAF
góc NDF=góc ECB
mà góc CAF=góc ECB
nên góc CDF=góc NDF
=>DF là phân giác của góc NDC(1)
góc DNF=góc AEC
góc CNF=góc DBA
góc AEC=góc DBA
=>góc DNF=góc CNF
=>NF là phân giác của góc DNC(2)
Từ (1), (2) suy ra F là tâm đường tròn nội tiêp ΔCND
cho đường tròn (O;R) coa đuòng kính AB cố định. trên tia đối của tia AB lấy điểm C sao cho AC=R. qua điểm C kẻ đường thẳng d vuông góc với CA. lấy điểm M bất kì trên đường tròn (O) không trùng với A và B. tia BM cắt đường thẳng d tại P, tia PA cắt đường tròn (O) tại điểm thứ 2 là Q:
a) cm tứ giác ACPM nội tiếp và tính tích BM.BP theo R.
b) cm CA là tia phân giác của góc MCQ.
c) gọi H là giao điểm của CM và AP, cm PQ.AH=PH.AQ
d) cm trọng tâm G của tam giác CMB thuộc 1 đường tròn cố định khi điểm M thay đổi trên đường tròn (O).
Tham khảo
https://asknlearn247.com/question/cho-duong-tron-o-r-duong-kinh-ab-co-dinh-tren-tia-doi-cua-tia-ab-lay-diem-c-sao-cho-ac-r-qua-c-k-2018212/
a, Xét (O), đường kính AB có: M ∈ (O)
⇒ AMB^=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒ AM ⊥ BP ⇒ AMP^=90°
PC ⊥ AC (gt) ⇒ ACP^=90° Hay BCP^=90°
Xét tứ giác ACPM có: AMP^+ACP^=90°+90°=180°
Mà hai góc này ở vị trí đối nhau
⇒ Tứ giác ACPM nội tiếp đường tròn đường kính AP
b, Xét ΔBMA và ΔBCP có:
BMA^=BCP^=90°
PBC^: góc chung
⇒ ΔBMA ~ ΔBCP (g.g)
⇒ BMBC=BABP (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
⇒ BM.BP = BA.BC
Có BC=BA+CA=2R+R=3R
⇒ BM.BP=BA.BC=2R.3R=6R²
c, Tứ giác ACPM nội tiếp đường tròn đường kính AP (cmt)
⇒ CPA^=CMA^ (góc nội tiếp chắn CA⏜)
Hay CPQ^=CMA^
Xét (O) có: A, M, N, Q ∈ (O)
⇒ Tứ giác AMNQ nội tiếp (O)
⇒ AQN^+AMN^=180° (tổng hai góc đối trong tứ giác nội tiếp)
Mà AMC^+AMN^=180° (hai góc kề bù)
⇒ AQN^=CMA^ Hay PQN^=CMA^
Mà CPQ^=CMA^ (cmt)
⇒ CPQ^=PQN^
Mà hai góc này ở vị trí so le trong so PQ cắt CP và NQ
⇒ CP // NQ
d, Gọi D là trung điểm của BC, kẻ đường thẳng qua Q song song với MO cắt AO tại I
Mà BC cố định ⇒ D cố định
Có O, D cố định ⇒ I cố định
Xét ΔMBC có: G là trọng tâm của ΔMBC (gt)
⇒ DGDM=13
Xét ΔOMD có: GI // MO (cách vẽ)
⇒ DGDM=GIMO (hệ quả định lí Talet)
⇒ GIMO=13⇒GI=MO3=R3
Mà R không đổi
⇒ G luôn cách I một khoảng bằng R3
⇒ Khi M di động, G luôn thuộc đường tròn tâm I, bán kính
a, Xét (O), đường kính AB có: M ∈ (O)
⇒ ˆAMB=90°AMB^=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒ AM ⊥ BP ⇒ ˆAMP=90°AMP^=90°
PC ⊥ AC (gt) ⇒ ˆACP=90°ACP^=90° Hay ˆBCP=90°BCP^=90°
Xét tứ giác ACPM có: ˆAMP+ˆACP=90°+90°=180°AMP^+ACP^=90°+90°=180°
Mà hai góc này ở vị trí đối nhau
⇒ Tứ giác ACPM nội tiếp đường tròn đường kính AP
b, Xét ΔBMA và ΔBCP có:
ˆBMA=ˆBCP=90°BMA^=BCP^=90°
ˆPBCPBC^: góc chung
⇒ ΔBMA ~ ΔBCP (g.g)
⇒ BMBC=BABPBMBC=BABP (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
⇒ BM.BP = BA.BC
Có BC=BA+CA=2R+R=3R
⇒ BM.BP=BA.BC=2R.3R=6R²
c, Tứ giác ACPM nội tiếp đường tròn đường kính AP (cmt)
⇒ ˆCPA=ˆCMACPA^=CMA^ (góc nội tiếp chắn CACA⏜)
Hay ˆCPQ=ˆCMACPQ^=CMA^
Xét (O) có: A, M, N, Q ∈ (O)
⇒ Tứ giác AMNQ nội tiếp (O)
⇒ ˆAQN+ˆAMN=180°AQN^+AMN^=180° (tổng hai góc đối trong tứ giác nội tiếp)
Mà ˆAMC+ˆAMN=180°AMC^+AMN^=180° (hai góc kề bù)
⇒ ˆAQN=ˆCMAAQN^=CMA^ Hay ˆPQN=ˆCMAPQN^=CMA^
Mà ˆCPQ=ˆCMACPQ^=CMA^ (cmt)
⇒ ˆCPQ=ˆPQNCPQ^=PQN^
Mà hai góc này ở vị trí so le trong so PQ cắt CP và NQ
⇒ CP // NQ
d, Gọi D là trung điểm của BC, kẻ đường thẳng qua Q song song với MO cắt AO tại I
Mà BC cố định ⇒ D cố định
Có O, D cố định ⇒ I cố định
Xét ΔMBC có: G là trọng tâm của ΔMBC (gt)
⇒ DGDM=13DGDM=13
Xét ΔOMD có: GI // MO (cách vẽ)
⇒ DGDM=GIMODGDM=GIMO (hệ quả định lí Talet)
⇒ GIMO=13⇒GI=MO3=R3GIMO=13⇒GI=MO3=R3
Mà R không đổi
⇒ G luôn cách I một khoảng bằng R3R3
⇒ Khi M di động, G luôn thuộc đường tròn tâm I, bán kính R3R3
cho đường tròn tâm o đường kính AB. lấy điểm H thuộc tia đối của tia BA rồi vẽ đường thẳng d vuông góc với AB tại H. gọi C là điểm thuộc đường tròn tâm o . tia AC cắt dường thẳng d tại N ,qua N kẻ tiếp tuyến NE với đường tròn tâm o (E và B thuộc 2 nửa mặt phẳng bờ AN). các đường thẳng AE và BE cắt đường thẳng d lần lượt tại K và I .Chứng minh : a,BK vuông góc AI . b,KECN là tứ giác nội tiếp , c,N là trung điểm IK
a, ta có: góc AEI = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => EI\(\perp\)AK tại E và AH\(\perp\)KI tại H (gt)
chúng cắt nhau tại B => B là trực tâm. => KB vuông góc AI (đpm)
b, ta có: góc ECA = góc EBA ( cùng chắn cung AE) mà góc EBA= góc HBI (hai góc đối đỉnh) (4)
ta lại có: góc HBI + góc HIB =90o (tổng 3 góc trong một tam giác) (3)
=> góc ECA + góc HIB = 90o (1)
Xét tam giác CEI vuông tại E nên: góc EKI + góc HIB =90o (2)
Từ (1) và (2) => góc ECA = góc EKI
=> tứ giác EKNC là tứ giác nội tiếp ) (đpcm)
c,Ta có: góc EAB + góc EBA = 90o và từ (3), (4) => góc EAB = góc BIH
mà góc EAB = góc BEN ( bằng 1/2 sđ cung EB)
=> góc BIH = góc BEN=> tam giác ENI cân tại N=> EN =NI (*)
Tương tự, ta có góc K + góc KAH = 90o
góc KEN + góc NEB =90o mà góc KAH = góc NEB (c.m.t) => góc KEN = góc K => tam giác KNE cân tại N => NK = NE (**)
từ (*) và (**) => NK = NI hay N là trung điểm KI ( đpcm)
Cho đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm M bất kì trên đường tròn. Qua điểm H thuộc đoạn OB vẽ đường thẳng d vuông góc với AB, đường thẳng d cắt các đường thẳng MA, MB lần lượt tại D, C . Tiếp tuyến tại M của đường tròn cắt đường thẳng d tại I , tia AC cắt đường tròn tại E, đường thẳng ME cắt OI tại K. Chứng minh :
a, Tứ giắc MOHE nội tiếp
b, IE là tiếp tuyến của đường tròn (O)
c, Đường thẳng ME đi qua điểm cố định
