Bài 3. Cho tam giác ABC vuông ở A, với AC > AB. Trên AC lấy điểm M, vẽ đường tròn tâm O đường kính MC. Tia BM cắt đường tròn (O) tại D. Đường thẳng qua A và D cắt đường tròn (O) tại S. a) Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp b) Chứng minh AC là tia phân giác của góc SCB c) Gọi E là giao điểm của BC với đường tròn (O). Chứng minh rằng các đường thẳng BA, EM, CD đồng quy. d) Chứng minh DM là tia phân giác của góc ADE e) Chứng minh M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE
Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy 1 điểm M, dựng đường tròn tâm (O) có đường kính MC. Đường thẳng BM cắt đường tròn tâm (O) tại D, đường thẳng AD cắt đường tròn tâm (O) tại S.
1) Chứng minh tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp và CA là tia phân giác của góc BCS
2) Gọi E là giao điểm của BC với đường tròn (O). Chứng minh các đường thẳng BA, EM, CD đồng quy.
3) Chứng minh M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE.
giải chi tiết giúp mình với ạ!!
Lời giải:
1.
$\widehat{MDC}=90^0$ (góc nt chắn nửa đường tròn)
$\Leftrightarrow \widehat{BDC}=90^0$
Tứ giác $ABCD$ có $\widehat{BAC}=\widehat{BDC}=90^0$ và cùng nhìn cạnh $BC$ nên là tgnt.
Do $ABCD$ nội tiếp nên $\widehat{BCA}=\widehat{BDA}$
Mà $\widehat{BDA}=\widehat{MCS}$ (do $MDSC$ nội tiếp)
$\Rightarrow \widehat{BCA}=\widehat{MCS}$
$\Rightarrow CA$ là phân giác $\widehat{BCS}$
2.
Gọi $T$ là giao điểm của $BA$ và $EM$
Xét tam giác $BTC$ có $TE\perp BC$ (do $\widehat{MEC}=90^0$) và $CA\perp BT$ và $TE, CA$ giao nhau tại $M$ nên $M$ là trực tâm tam giác $BTC$
$\Rightarrow BM\perp TC$.
Mà $BM\perp DC$ nên $TC\parallel DC$ hay $T,D,C$ thẳng hàng
Do đó $BA, EM, DC$ đồng quy tại $T$
3.
Vì $ABCD$ nt nên $\widehat{MAD}=\widehat{CAD}=\widehat{DBC}=\widehat{MBE}$
Dễ cm $BAME$ nội tiếp cho $\widehat{A}+\widehat{E}=90^0+90^0=180^0$ nên $\widehat{MBE}=\widehat{EAM}$
Do đó: $\widehat{MAD}=\widehat{EAM}$ nên $AM$ là tia phân giác $\widehat{EAM}(*)$
Mặt khác:
Cũng do $MECD,ABCD$ nội tiếp nên:
$\widehat{ADM}=\widehat{ADB}=\widehat{ACB}=\widehat{MCE}=\widehat{MDE}$
$\Rightarrow DM$ là tia phân giác $\widehat{ADE}(**)$
Từ $(*); (**)\Rightarrow M$ là tâm đường tròn nội tiếp $ADE$.
Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên AC lấy một điểm M và vẽ đường tròn đường kính MC. Kẻ BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S. Chứng minh rằng: ABCD là một tứ giác nội tiếp
⇒ A ∈ đường tròn đường kính BC.
D ∈ đường tròn đường kính MC
⇒ D ∈ đường tròn đường kính BC
⇒ A, B, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính BC
hay tứ giác ABCD nội tiếp.
Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB). Trên đoạn AC lấy điểm M và vẽ đường tròn đường kính MC. Tia BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng AD cắt đường tròn tại S.
a. C/m: ABCD là tứ giác nội tiếp.
b. C/m: CA là phân giác của góc SCB.
c. Gọi H là giao điểm thứ hai của đường tròn đường kính MC với BC. C/m: các đường thẳng AB; MH; CD đồng qui.
d. Biết CM = a; Cˆ = 300. Tính diện tích hình quạt OMmH ( với cung MmH là cung nhỏ.)
e. C/m : M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADH.
f. ABˆC = 720 ; BCˆD = 73o tính các góc của tam giác AHD
g. Trong trường hợp DA là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MC thì M ở vị trí nào?
a: góc MDC=1/2*sđ cung MC=90 độ
=>góc BDC=90 độ
Xét tứ giác ABCD có
góc CAB=góc CDB=90 độ
=>ABCD nội tiếp
b: ABCD nội tiếp
=>góc BCA=góc BDA
=>góc BCA=góc SCA
=>CA là phân giác của góc SCB
c: Gọi N là giao của MH với AB
góc MHC=1/2*180=90 độ
=>NH vuông góc BC
Xét ΔCBN có
NH,CA là đường cao
NH cắt CA tại M
=>M là trực tâm
=>BM vuông góc CN
=>C,D,N thẳng hàng
=>MH,CD,BA đồng quy
Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên AC lấy một điểm M và vẽ đường tròn đường kính MC. Kẻ BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S. Chứng minh rằng:
a) ABCD là một tứ giác nội tiếp
b) góc ABD bằng góc ACD
c) CA là tia phân giác của góc SCB
a) 
⇒ A ∈ đường tròn đường kính BC.
D ∈ đường tròn đường kính MC
⇒ D ∈ đường tròn đường kính BC
⇒ A, B, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính BC
hay tứ giác ABCD nội tiếp.
b) Xét đường tròn đường kính BC:
đều là góc nội tiếp chắn cung 
c) + Trong đường tròn đường kính MC:
đều là các góc nội tiếp cùng chắn cung 
+ Trong đường tròn đường kính BC:
đều là các góc nội tiếp chắn cung 
1. cho tam giác ABC.Tia Ax nằm khác phía với AC đối với đường thẳng AB thỏa mãn góc xAB bằng góc ACB.chứng minh Ax là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
2.cho nửa đường tròn (O) đường kính AB trên đoạn AB lấy điểm M,gọi H là trung điểm của AM.đường thẳng qua H vuông góc với AB cắt (O) tại C .đường tròn đường kính MB cắt BC tại I. CM HI là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MB
3.cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, C thuộc nửa đường tròn.vẽ CH vuông góc với AB(H thuộc AB),M là trung điểm CH,BM cắt tiếp tuyến Ax của O tại P .chứng minh PC là tiếp tuyến của (O)
4.cho đường tròn O đường kính AB, M là một điểm trên OB.đường thẳng qua M vuông góc với AB tại M cắt O tại C và D. AC cắt BD tại P,AD cắt BC tại Q,AB cắt PQ tai I chứng minh IC,ID là tiếp tuyến của (O)
5.cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính BC (AB<AC).T là một điểm thuộc OC.đường thẳng qua T vuông góc với BC cắt AC tại H và cắt tiếp tuyến tại A của O tại P.BH cắt (O) tại D. chứng minh PD là tiếp tuyến của O
6.cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O. phân giác góc BAC cắt BC tại D và cắt (O) tại M chứng minh BM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Trên cạnh AC lấy điểm M, đường tròn đường kính MC cắt BC tại E và cắt đường thẳng BM tại D. Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp
Cho điểm M thuộc cạnh a của tam giác ABC vuông tại A Vẽ đường tròn O đường kính MC cắt BC tại E D BM cắt đường tròn O tại D tia AD cắt đường tròn O tại E AE cắt đường tròn O tại f Chứng minh câu a tứ giác ABCD nội tiếp K là phân giác góc s a b c a b c d đồng quy câu d d m là phân giác góc ade câu a m là tâm đường tròn nội tiếp tam giác hde f d f song song AB
Cho tam giác ABC vuông tại A và điểm M thuộc cạnh AC. Vẽ đường tròn tâm O đường kính MC cắt BC tại E. Nối BM cắt đường tròn (O) tại N, AN cắt đường tròn (O) tại D. Lấy I đối xứng với M qua A, K đối xứng với M qua E
a, Chứng minh BANC là tứ giác nội tiếp
b, Chứng minh CA là phân giác của B C D ^
c, Chứng minh ABED là hình thang
d, Tìm vị trí M để đường tròn ngoại tiếp tam giác BIK có bán kính nhỏ nhất
a, Học sinh tự chứng minh
b, Học sinh tự chứng minh
c, Học sinh tự chứng minh
d, Chú ý: B I A ^ = B M A ^ , B M C ^ = B K C ^
=> Tứ giác BICK nội tiếp đường tròn (T), mà (T) cũng là đường tròn ngoại tiếp DBIK. Trong (T), dây BC không đổi mà đường kính của (T) ≥ BC nên đường kính nhỏ nhất bằng BC
Dấu "=" xảy ra <=> B I C ^ = 90 0 => I ≡ A => MA
