\(\orbr{\begin{cases}\hept{\begin{cases}\text{x=2}\\y=0\end{cases}}\\\hept{\begin{cases}\text{x=\text{-}1}\\y=1\end{cases}}\end{cases}}\)

\(x^2+2y^2+2xy+3y-4=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2+y^2+2.\frac{3}{2}y+\frac{9}{4}-\frac{25}{4}=0\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2+\left(y+\frac{3}{2}\right)^2=\frac{25}{4}\)

Do x,y nguyên

\(\Rightarrow\left(y+\frac{3}{2}\right)^2=\orbr{\begin{cases}\frac{25}{4}\\\frac{9}{4}\end{cases}}\)(chọn những số 

\(\Rightarrow y=...\)

\(\Rightarrow x=...\)

\(x^2+2y^2+2xy+3y-4=0\)\(\Leftrightarrow x^2+2yx+\left(2y^2+3y-4\right)=0\)

Coi đây là phương trình theo ẩn x thì \(\Delta=\left(2y\right)^2-4\left(2y^2+3y-4\right)=-4y^2-12y+16\)

Để phương trình có nghiệm thì \(\Delta\ge0\)hay \(-4y^2-12y+16\ge0\Leftrightarrow y^2+3y-4\le0\Leftrightarrow\left(y+4\right)\left(y-1\right)\le0\)

TH1: \(\hept{\begin{cases}y+4\ge0\\y-1\le0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y\ge-4\\y\le1\end{cases}}\)hay \(-4\le y\le1\)

TH2: \(\hept{\begin{cases}y+4\le0\\y-1\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y\le-4\\y\ge1\end{cases}}\)(loại)

Vậy \(-4\le y\le1\)mà y nguyên nên \(y\in\left\{-4;-3;-2;-1;0;1\right\}\)

Thay lần lượt các giá trị của y vào phương trình đã cho, ta được:

*) \(y=-4\Rightarrow x=4\)

*) \(y=-3\Rightarrow x\in\left\{1;5\right\}\)

*) \(y=-2\)(Không có giá trị nguyên của x)

*) \(y=-1\)(Không có giá trị nguyên của x)

*) \(y=0\Rightarrow x\in\left\{\pm2\right\}\)

*) \(y=1\Rightarrow x=-1\)

Vậy \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(4,-4\right);\left(1,-3\right);\left(5,-3\right);\left(\pm2,0\right);\left(-1,1\right)\right\}\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+\left(y^2+3y-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=-\left(y-1\right)\left(y+4\right)\)

\(VT\left(2\right)\ge0\forall x,y\Rightarrow VP\left(2\right)\ge0\Rightarrow\left(y-1\right)\left(y+4\right)\le0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}y-1\le0\\y+4\ge0\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}y-1\ge0\\y+4\le0\end{cases}\Rightarrow}-4\le y\le1\)

\(\Rightarrow y\in\left\{-4;-3;-2;-1;0;1\right\}\)

- Thử lại :

\(+)y=-4:\left(2\right)\Leftrightarrow\left(x-4\right)^2=0\Leftrightarrow x=4\)

\(+)y=-3:\left(2\right)\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2=4\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-3=2\\x-3=-2\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=5\\x=1\end{cases}}}\)

\(+)y=-2:\left(2\right)\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2=6\)( vô nghiệm nguyên )

\(+)y=-1:\left(2\right)\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=6\)( vô nghiệm nguyên )

\(+)y=0:\left(2\right)\Leftrightarrow x^2=4\Leftrightarrow x=2;x=-2\)

\(+)y=1:\left(2\right)\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2=0\Leftrightarrow x=-1\)

Vậy các nghiệm của hpt là : \(\left(4;-4\right)\);\(\left(5;-3\right)\); \(\left(1;-3\right)\); \(\left(2;0\right)\);\(\left(-2;0\right)\);\(\left(-1;1\right)\)

Coi (1) là phương trình bậc 2 ẩn x, y là tham số 

(1) có nghiệm <=> Δ' ≥ 0 <=> y² - ( 2y² + 3y - 4 ) ≥ 0

<=> -y² - 3y + 4 ≥ 0 <=> -4 ≤ y ≤ 1

Vì y nguyên => y ∈ { -4 ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 }

+) Với y = -4 (1) trở thành x² - 8x + 16 = 0 <=> ( x - 4 )² = 0 <=> x = 4 (tm)

+) Với y = -3 (1) trở thành x² - 6x + 5 = 0 <=> ( x - 1 )( x - 5 ) = 0 <=> x = 1 (tm) hoặc x = 5(tm)

+) Với y = -2 (1) trở thành x² - 4x - 2 = 0 có Δ = 24 không là SCP nên không có nghiệm nguyên

+) Với y = -1 (1) trở thành x² - 2x - 5 = 0 có Δ = 24 không là SCP nên không có nghiệm nguyên

+) Với y = 0 (1) trở thành x² - 4 = 0 <=> x = ±2 (tm)

+) Với y = 1 (1) trở thành x² + 2x + 1 = 0 <=> ( x + 1 )² = 0 <=> x = -1(tm)

Vậy ( x ; y ) ∈ { ( 4 ; -4 ) , ( 1 ; -3 ) , ( 5 ; -3 ) , ( 2 ; 0 ) , ( -2 ; 0 ) , ( -1 ; 1 ) }

Bài toán :

Lời giải:

Tập xác định của phương trình

Rút gọn thừa số chung

Giải phương trình

Nghiệm được xác định dưới dạng hàm ẩn

#

Bn có thể có lời giải cụ thể cho bài này ko?

Tham khảo: Câu hỏi của Ngô Minh Tâm - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Ta có \(x^2+2xy+y^2+y^2=4-3y\)\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+y^2=4-3y\).
Suy ra \(4-3y>0\Leftrightarrow3y< 4\).
Do y nguyên dương nên \(y=1\).
Thay vào phương trình ta có: \(\left(x+1\right)^2+1^2=4-3.1\) \(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2=0\)\(\Leftrightarrow x+1=0\)\(\Leftrightarrow x=-1\). (Loại vì x nguyên dương).
Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn.

\(x^2+2y^2+2xy+3y-4=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+2xy+\left(2y^2+3y-4\right)=0\)

Coi phương trình trên có ẩn là x.

Phương trình có nghiệm khi \(\Delta'=y^2-\left(2y^2+3y-4\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow-y^2-3y+4\ge0\)\(\Leftrightarrow y^2+3y-4\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(y-1\right)\left(y+4\right)\le0\Leftrightarrow-4\le y\le1\)

Thay vào từng giá trị nguyên của y để tìm x=)

\(x^2+2xy+y^2+3y-4=0\)

\(\Rightarrow\Delta'=y^2-\left(2y^2+3y-4\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow-4\le y\le1\)

\(\left(x+y\right)^2+\left(y-\frac{3}{2}\right)^2=4\)

mà 4=0^2+2^2

=>\(\orbr{\begin{cases}\hept{\begin{cases}x+y=0\\y-\frac{3}{2}=2\end{cases}}\\\hept{\begin{cases}x+y=2\\y-\frac{3}{2}=0\end{cases}}\end{cases}}\)

=> giải nốt

\(x^2+2y^2+2xy+3y-4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2xy+y^2\right)+\left(y^2+3y+\frac{9}{4}\right)-\frac{25}{4}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+\left(y+\frac{3}{2}\right)^2=\frac{25}{4}\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+2y\right)^2+\left(2y+3\right)^2=25\)

Ta có 4 trường hợp: 

TH1: \(\hept{\begin{cases}2x+2y=0\\2y+3=5\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=0\\y=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\y=1\end{cases}}\)

TH2: \(\hept{\begin{cases}2x+2y=0\\2y+3=-5\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=4\\y=-4\end{cases}}\)

TH3: \(\hept{\begin{cases}2x+2y=4\\2y+3=-3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=5\\y=-3\end{cases}}\)

TH4: \(\hept{\begin{cases}2x+2y=4\\2y+3=3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=0\end{cases}}\)

TH5: \(\hept{\begin{cases}2x+2y=-4\\2y+3=-3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=-3\end{cases}}\)

TH6: \(\hept{\begin{cases}2x+2y=-4\\2y+3=3\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=-2\\y=0\end{cases}}\)