Đặt biểu thức n³ – n²– 7n + 10 bằng A 

A= n³ – 2n² + n² – 2n – 5n +10

A= (n – 2)(n² + n – 5).
 Để n³-n²-7n+10 là số nguyên tố thì  

* n = 3
=>  A = 7.
* n = 2
=>A = 0 (loại).
Vậy n = 3 là giá trị cần tìm.

\(P=3n^3-7n^2+3n+6\)

\(=3n^3+2n^2-9n^2-6n+9n+6\)

\(=n^2\left(3n+2\right)-3n\left(3n+2\right)+3\left(3n+2\right)\)

\(=\left(3n+2\right)\left(n^2-3n+3\right)\)

để p là nguyên tố thì 3n+2 hoặc n²-3n+3  phải bằng 1 (nếu cả hai tích số đều lớn hơn 1 => p là hợp số, trái với đầu bài) 

*3n+2=1=>n=-1/3

*n²-3n+3=1<=>n²-3n+2=0

\(\Leftrightarrow n^2-2\times\frac{3}{2}n+\frac{9}{4}-\frac{1}{4}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(n-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{1}{4}=\left(-\frac{1}{2}\right)^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2\)

                            \(\orbr{\begin{cases}n-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\\n-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}n=2\\n=1\end{cases}}}\)

nếu n= 2 thì (3n+2)(n²-3n+3)=(3.2+2).1=8 (ko phải số nguyên tố nên ta loại)

vậy n=1 

Tìm tất cả các số tự nhiên n để :

a/ n^2 +12n là số nguyên tố

b/ 3^n +6 là số nguyên tố

TH1. Đề bài là: 5ⁿ + 10 \(\in\) P

               Với n = 0 ⇒ 5ⁿ + 10 = 1 + 10 = 11 (thỏa mãn)

               Với n ≥ 1 ⇒ 5ⁿ + 10 = \(\overline{..5}\)+ 10 = \(\overline{..5}\) ⋮ 5 (loại)

 Vậy n = 0

TH2. Đề bài là: 5^{n +10} \(\in\) P 

           5ⁿ⁺¹⁰ \(\in\) P ⇔ n + 10 = 1 

           ⇒ n = -9 (loại)

   n \(\in\) \(\varnothing\)

n\(^3\) -n\(^2\) -7n +10

=n\(^3\) -2n\(^2\) +n\(^2\) -2n-5n+10

=(n-2)(n\(^2\) +n-5) (bạn nhóm lại rồi rút nhân tử chung nha)

Vì P nguyên tố nên

=> n-2=1 =>n=3 (nhận)

=>n\(^2\) +n-5=1 => n=2 (nhận) hoặc n=-3(loại)

ta có: n=3 =>P=7(nhận) (bạn thế n vào biểu thức P rồi tính ra)

n=2 => P=0(loại)

vậy n cần tìm là n=3

nếu n=1 thì k vẫn là số nguyên tố mà bạn

Xét 2 trường hợp:

TH1: n = 0

5ⁿ + 10 = 5⁰ + 10 = 11 là số nguyên tố

TH2: n ≠ 0

Ta có:

5ⁿ ⋮ 5

10 ⋮ 5

⇒ (5ⁿ + 10) ⋮ 5

⇒ 5ⁿ + 10 là hợp số

Vậy n = 0 thì 5ⁿ + 10 là số nguyên tố

Nếu đề bài là:

   5ⁿ⁺¹⁰ \(\in\) P 

⇔ 5ⁿ⁺¹⁰ = 5

⇒ n + 10 = 1

⇒ n = -9 (loại)

n \(\in\) \(\varnothing\)

Nếu đề bài là:

    5ⁿ + 10 \(\in\) P

   với n = 0 ta có 5ⁿ + 10 = 11 (thỏa mãn)

   Với n ≥ 1 ta có 5ⁿ + 10 = \(\overline{..5}\) + 10 = \(\overline{...5}\) (là hợp số loại)

Vậy n = 0