(Cho hai số thực dương x,y thõa mãn xy=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M=x2+y2+3/(x+y+1)
Cho x và y là hai số thực thõa mãn x2 +y2 =4 . Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức P=x+y?
Ta có : \(x^2+y^2=4< =>x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)
\(< =>4\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}< =>\left(x+y\right)^2\le4.2=8< =>x+y\le\sqrt{8}\)
Hay \(x+y\le\sqrt{8}\)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=\sqrt{2}\)
Vậy GTLN của P = \(\sqrt{8}\)đạt được khi và chỉ khi \(x=y=\sqrt{2}\)
Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn x + y + xy = 8 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2 + y2
Cho các số thực x, y dương và thỏa mãn log 2 x 2 + y 2 3 xy + x 2 + 2 log 2 x 2 + 2 y 2 + 1 ≤ log 2 8 xy .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2 x 2 - xy + 2 y 2 2 xy - y 2 .
cho hai số thực x>0,y>0 thoả mãn xy=6.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x2+y2
Áp dụng BĐT cói cho 2 số ko âm ta có
X^2+y^2 >= 2 .căn x^2 .y^2 = 2.xy= 2.6 =12
Vậy P min =12 dấu = xảy ra khi x^2=y^2 <=> x=y
( thông cảm mình gõ mũ ko đc )
Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn: 1 x 2 + 1 y 2 + 1 z 2 = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = y 2 z 2 x ( y 2 + z 2 ) + z 2 x 2 y ( z 2 + x 2 ) + x 2 y 2 z ( x 2 + y 2 )
Ta có:
P = 1 x ( 1 z 2 + 1 y 2 ) + 1 y ( 1 z 2 + 1 x 2 ) + 1 z ( 1 x 2 + 1 y 2 )
Đặt: 1 x = a ; 1 y = b ; 1 z = c thì a,b,c>0 và a2+b2+c2=1
P = a b 2 + c 2 + b c 2 + a 2 + c a 2 + b 2 = a 2 a ( 1 − a 2 ) + b 2 b ( 1 − b 2 ) + c 2 c ( 1 − c 2 )
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có:
a 2 1 - a 2 2 = 1 2 .2 a 2 ( 1 − a 2 ) ( 1 − a 2 ) ≤ 1 2 2 a 2 + 1 − a 2 + 1 − a 2 3 = 4 27 = > a ( 1 − a 2 ) ≤ 2 3 3 < = > a 2 a ( 1 − a 2 ) ≥ 3 3 2 a 2 ( 1 )
Tương tự: b 2 b ( 1 − b 2 ) ≥ 3 3 2 b 2 ( 2 ) ; c 2 c ( 1 − c 2 ) ≥ 3 3 2 c 2 ( 3 )
Từ (1); (2); (3) ta có P ≥ 3 3 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) = 3 3 2
Đẳng thức xảy ra a = b = c = 1 3 h a y x = y = z = 3
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3 3 2
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn 2 ( x 2 + y 2 ) + x y = ( x + y ) ( x y + 2 ) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 4 ( x 3 y 3 + y 3 x 3 ) - 9 ( x 2 y 2 + y 2 x 2 )
A. - 25 4
B. 5
C. -13
D. - 23 4
Đáp án D
Cho x,y > 0 thỏa mãn 2 ( x 2 + y 2 ) + x y = ( x + y ) ( 2 + x y ) ⇔ 2 ( x + y ) 2 - ( 2 + x y ) ( x + y ) - 3 x y = 0 (*)
Đặt x + y = u x y = v ta đc PT bậc II: 2 u 2 - ( v + 2 ) u - 3 = 0 gải ra ta được u = v + 2 + v 2 + 28 v + 4 4
Ta có P = 4 ( x 3 y 3 + y 3 x 3 ) - 9 ( x 2 y 2 + y 2 x 2 ) = 4 ( x y + y x ) 3 - 9 ( x y + y x ) 2 - 12 ( x y + y x ) + 18 , đặt t = ( x y + y x ) , ( t ≥ 2 ) ⇒ P = 4 t 3 - 9 t 2 - 12 t + 18 ; P ' = 6 ( 2 t 2 - 3 t + 2 ) ≥ 0 với ∀ t ≥ 2 ⇒ M i n P = P ( t 0 ) trong đó t 0 = m i n t = m i n ( x y + y x ) với x,y thỏa mãn điều kiện (*).
Ta có :
t = ( x y + y x ) = ( x + y ) 2 x y - 2 = u 2 v - 2 = ( v + 2 + v 2 + 28 v + 4 ) 2 16 v - 2 = 1 16 ( v + 2 v + v + 4 v + 28 ) 2 - 2 ≥ 1 16 ( 2 2 + 32 ) 2 - 2 = 5 2
Vậy m i n P = P ( 5 2 ) = 4 . ( 5 2 ) 2 - 9 ( 5 2 ) 2 - 12 . 5 2 + 18 = - 23 4
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x2+ y2=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P= x + \(\dfrac{1}{x}\) + y + \(\dfrac{1}{y}\)
Điểm rơi: \(x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Ta tách biểu thức được như sau: \(A=x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}=(x+\frac{1}{2x})+(y+\frac{1}{2y})+\frac{1}{2}(\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y})\)
\(\geq 2\sqrt{x.\frac{1}{2x}}+2\sqrt{y.\frac{1}{2y}}+\frac{1}{2}.\frac{4}{x+y}=2\sqrt{2}+\frac{2}{x+y}\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki, ta lại có:
\((x+y)^2\leq 2(x^2+y^2)=2 \Rightarrow x+y\leq \sqrt{2}\)
\(\Rightarrow A\geq 3\sqrt{2}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Cho các số thực x, y thoả mãn 2 x + y - 1 ( 3 x + y + 1 ) = 3 x + 3 y + 1 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x 2 + x y + y 2 bằng
A. 3 4
B. 0
C. 1 4
D. 1 2
Cho các số thực x, y thoả mãn 2 x + y - 1 ( 3 x + y + 1 ) = 3 x + 3 y + 1 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= x 2 + x y + y 2 bằng
A. 3 4
B. 0.
C. 1 4
D. 1 2