\(\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{ab}{cd}\)

=> cd(a² + b²) = ab(c² + d²) 

=> a²cd + b²cd = abc² + abd²

=>  a²cd + b²cd - abc² - abd² = 0

=>  (a²cd - abc²) + (b²cd - abd²) = 0

=> ac(ad - bc) + bd(bc - ad) = 0

=> ac(ad - bc) - bd(ad - bc) = 0

=> (ac - bd)(ad - bc) = 0

=> \(\orbr{\begin{cases}ac-bd=0\\ad-bc=0\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}ac=bd\\ad=bc\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\frac{a}{b}=\frac{d}{c}\\\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\end{cases}}\Rightarrow\text{đpcm}\)

\(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0\)

=> \(\frac{a}{b-c}=-\frac{b}{c-a}-\frac{c}{a-b}=\frac{-b\left(a-b\right)-c\left(c-a\right)}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}=\frac{-ab+b^2-c^2+ac}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)}\)

Nhân cả hai vế với \(\frac{1}{b-c}\)

=> \(\frac{a}{\left(b-c\right)^2}=\frac{-ab+b^2-c^2+ac}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)

Tương tự: \(\frac{b}{\left(c-a\right)^2}=\frac{-bc+c^2-a^2+ba}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)

                  \(\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=\frac{-ca+a^2-b^2+cb}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)

Cộng vế với vế ta có:

\(\frac{a}{\left(b-c\right)^2}+\frac{b}{\left(c-a\right)^2}+\frac{c}{\left(a-b\right)^2}\)

\(=\frac{-ab+b^2-c^2+ac-bc+c^2-a^2+ba-ca+a^2-b^2+cb}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=0\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Vì \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\) suy ra \(b^2=ac\)

Có: \(\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}=\frac{a^2+ac}{ac+c^2}=\frac{a\left(a+c\right)}{c\left(a+c\right)}=\frac{a}{c}\)

 \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}=\frac{b^2}{c^2}=\frac{a.b}{b.c}=\frac{a}{c}\)

Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau: \(\frac{a^2}{b^2}=\frac{b^2}{c^2}=\frac{a}{c}=\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}\)

Vậy ta có đpcm.

Đề bài : Cho \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\left(a,b,c\ne0\right)\)và  \(M=\frac{b^2c^2}{a}+\frac{c^2a^2}{b}+\frac{a^2b^2}{c}\)

Chứng minh M=3abc.

Trước tiên, ta chứng minh bài toán phụ : Cho x+y+z=0 . Chứng minh \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)

Giải bài toán phụ như sau : Ta có : \(x+y+z=0\Rightarrow z=-\left(x+y\right)\Rightarrow z^3=-\left[x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)\right]\)

\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3=-3xy\left(x+y\right)=-3xy\left(-z\right)\)

\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz\)

Áp dụng vào bài đã cho, ta suy ra : \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\)

Do đó : \(M=\frac{b^2c^2}{a}+\frac{c^2a^2}{b}+\frac{a^2b^2}{c}=\frac{a^2b^2c^2}{a^3}+\frac{a^2b^2c^2}{b^3}+\frac{a^2b^2c^2}{c^3}=a^2b^2c^2\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)=a^2b^2c^2.\frac{3}{abc}=3abc\)Vậy \(M=3abc\)(đpcm)

Cảm ơn bạn nha :*

Không có chi :))

Chúc bạn học tốt ! ^.^

quá đơn giản 

cho 5 k giải cho

(mình trong đội tuyển toán đó nhe nên làm theo đi)

\(a^2+c^2=b^2+d^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2=2\left(b^2+d^2\right)⋮2\)

Ta có

\(a^2+b^2+c^2+d^2+\left(a+b+c+d\right)=\)

\(=a\left(a+1\right)+b\left(b+1\right)+c\left(c+1\right)+d\left(d+1\right)\)

Ta thấy 

\(a\left(a+1\right);b\left(b+1\right);c\left(c+1\right);d\left(d+1\right)\) là tích của 2 số TN liên tiếp nên chúng chia hết cho 2

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+\left(a+b+c+d\right)⋮2\)

Mà \(a^2+b^2+c^2+d^2⋮2\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow a+b+c+d⋮2\)

Mà a+b+c+d là các số TN khác 0 => a+b+c+d>2

=> a+b+c+d là hợp số

A = [(a +b) + (c + d)].[(a + b) + (c + d)]

A = (a + b).(a + b) + (a +b).(c + d) + (c + d).(a + b) + (c+d).(c+d)

A  = a² + ab + ab + b² + 2.(a+b).(c+d) + c² + cd + cd + d²

A = a² + b² + c² + d² + 2ab + 2.(a +b).(c + d) + 2cd

A = a² + b² + a² + b² + 2. [ab + (a + b).(c + d) + cd]

A = 2.(a² + b²) + 2.[ab + (a + b)(c + d) + cd]

⇒ A ⋮ 2  ⇒ a + b + c + d  ⋮ 2 mà a; b;c;d là số tự nhiên nên a + b + c + d > 2

Hay A ⋮ 1; 2; A vậy A là hợp số (đpcm)