cho a,b,c là các số dương và a+b+c = 6
tìm Max của \(A=\sqrt{a^2+4ab+b^2}+\sqrt{b^2+4bc+c^2}+\sqrt{c^2+4ac+a^2}\)
Cho a,b,c là các số thực dương có tổng bằng 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\frac{1}{\sqrt{3a^2+4ab+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{3b^2+4bc+c^2}}+\frac{1}{\sqrt{3c^2+4ca+a^2}}\)
\(3a^2+4ab+b^2=3a^2+3ab+ab+b^2=3a\left(a+b\right)+b\left(a+b\right)=\left(3a+b\right)\left(a+b\right)\)
xong AM -GM
1. Cho a,b,c >0 và a+b+c=6
Tìm Max S= \(\sqrt{a^2+4ab+b^2}+\sqrt{b^2+4bc+c2}+\sqrt{c^2+4ac+a^2}\)
2. Cho x>= -1, y>=-1 và x+y=6
Tìm Max M =\(\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}\)
3. Cho a>b. b>0 và a^2+b^2=1
Tìm Max S= ab+2(a+b)
@Lightning Farron c giúp t làm mấy bài này đc k
Đang học Bunyakovsky đúng hong :D
1)
\(S=\sqrt{a^2+4ab+b^2}+\sqrt{b^2+4bc+c^2}+\sqrt{c^2+4ac+a^2}\)
\(S^2=\left(\sqrt{a^2+4ab+b^2}+\sqrt{b^2+4bc+c^2}+\sqrt{c^2+4ac+a^2}\right)^2\)
\(\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a^2+4ab+b^2+b^2+4bc+c^2+c^2+4ac+a^2\right)\)
\(=3.2\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\right)=6.\left(a+b+c\right)^2=6.6^2=216\)
\(\Leftrightarrow S\le6\sqrt{6}."="\Leftrightarrow a=b=c=2\)
2) \(M^2=\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x+1+y+1\right)=2.8=16\)
\(M\le4."="\Leftrightarrow x=y=3\)
3)
\(S=ab+2\left(a+b\right)\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}+\dfrac{8\left(a+b\right)}{4}\)
\(=\dfrac{\left(a+b\right)^2+8\left(a+b\right)}{4}\)
\(\left(a+b\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2\right)=2\Leftrightarrow a+b\le\sqrt{2}\)
\(\dfrac{\left(a+b\right)^2+8\left(a+b\right)}{4}\le\dfrac{2+8\sqrt{2}}{4}=\dfrac{1+4\sqrt{2}}{2}\)
\(S\le\dfrac{1+4\sqrt{2}}{2}."="\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
Cho a,b,c là các số thực dương có tổng bằng 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\frac{1}{\sqrt{3a^2+4ab+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{3b^2+4bc+c^2}}+\frac{1}{\sqrt{3c^2+4ca+a^2}}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\dfrac{1}{\sqrt{3a^2+4ab+b^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(3a+b\right)}}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{\left(2a+2b\right)\left(3a+b\right)}}\)
\(\ge\dfrac{\sqrt{2}}{\dfrac{2a+2b+3a+b}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{\dfrac{5a+3b}{2}}=\dfrac{2\sqrt{2}}{5a+3b}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\dfrac{1}{\sqrt{3b^2+4bc+c^2}}\ge\dfrac{2\sqrt{2}}{5b+3c};\dfrac{1}{\sqrt{3c^2+4ca+a^2}}\ge\dfrac{2\sqrt{2}}{5c+3a}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(P\ge\dfrac{2\sqrt{2}}{5a+3b}+\dfrac{2\sqrt{2}}{5b+3c}+\dfrac{2\sqrt{2}}{5c+3a}\)
\(\ge\dfrac{18\sqrt{2}}{8\left(a+b+c\right)}=\dfrac{18\sqrt{2}}{8}=\dfrac{9\sqrt{2}}{4}\)
Xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
cho a,b,c>0, a+b+c=3 Tìm GTLN của
\(P=\sqrt{3a^2+4bc+9}+\sqrt{3b^2+4ca+9}+\sqrt{3c^2+4ab+9}\)
P557(Mức A)Cho a,b,c là các số thực dương tuỳ ý,và cho x,y,z là các số thực dương có tổng bằng 1.Đặt:M=max{a,b,c}và m=min{x,y,z}.chứng minh rằng:\(M-\left(xa+yb+zc\right)\ge\frac{m}{2}\left(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{c}-\sqrt{a}\right)^2\right).\)
Ai giải được không ?
Cho a,c,b là các số dương thỏa mãn a+b+c=3
Tìm MIn , Max của M = \(\sqrt{a^2+a+4}+\sqrt{b^2+b+4}+\sqrt{c^2+c+4}\)
CHO a, b, c là các số không âm thỏa \(a^2+b^2+c^2=3\)
TÌM GTNN CỦA P=\(\frac{1}{\sqrt{3a^2+4ab+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{3b^2+4bc+c^2}}+\frac{1}{\sqrt{3c^2+4ca+a^2}}\)
mình đánh nhầm, đề là cho a,b,c là các số thực dương tổng bằng 1
cho \(a,b,c>0\)thỏa mãn: \(a+b+c=6\)
tìm GTLN: \(S=\sqrt{a^2+4ab+b^2}+\sqrt{b^2+4bc+c^2}+\sqrt{c^2+4ca+a^2}\)
Có \(\sqrt{a^2+4ab+b^2}=\sqrt{\left(\frac{3}{2}a^2+3ab+\frac{3}{2}b^2\right)-\left(\frac{1}{2}a^2-ab+\frac{1}{2}b^2\right)}\)
\(=\sqrt{\frac{3}{2}\left(a+b\right)^2-\frac{1}{2}\left(a-b\right)^2}\le\sqrt{\frac{3}{2}\left(a+b\right)^2}=\sqrt{\frac{3}{2}}\left(a+b\right)\)
Tương tự, ta có : \(\sqrt{b^2+4bc+c^2}\le\sqrt{\frac{3}{2}}\left(b+c\right);\sqrt{c^2+4ca+a^2}\le\sqrt{\frac{3}{2}}\left(c+a\right)\)
\(\Rightarrow\)\(S\le\sqrt{\frac{3}{2}}\left(a+b\right)+\sqrt{\frac{3}{2}}\left(b+c\right)+\sqrt{\frac{3}{2}}\left(c+a\right)=\sqrt{\frac{3}{2}}.2\left(a+b+c\right)=6\sqrt{6}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=2\)
cho a+b+c=0 .
Chứng minh a, \(\frac{4bc-a^2}{bc+2a^2}.\frac{4ab-c^2}{ab+2c^2}.\frac{4ac-b^2}{ac+2b^2}\)=1
b, \(\frac{4bc-a^2}{bc+2a^2}+\frac{4ab-c^2}{ab+2c^2}+\frac{4ac-b^2}{ac+2b^2}\)=3
a/ \(\frac{4bc-a^2}{bc+2a^2}.\frac{4ab-c^2}{ab+2c^2}.\frac{4ac-b^2}{ac+2b^2}\)
\(=\frac{4bc-\left(b+c\right)^2}{bc+2\left(b+c\right)^2}.\frac{4\left(-b-c\right)b-c^2}{\left(-b-c\right)b+2c^2}.\frac{4\left(-b-c\right)c-b^2}{\left(-b-c\right)c+2b^2}\)
\(=\frac{-\left(b-c\right)^2}{\left(c+2b\right)\left(b+2c\right)}.\frac{-\left(c+2b\right)^2}{-\left(b-c\right)\left(b+2c\right)}.\frac{-\left(b+2c\right)^2}{\left(b-c\right)\left(c+2b\right)}=1\)