cho a,b,c dương.a+b+c=0. chứng minh (a^2-a+1)(b^2-b+1)(c^2-c+1)>=1
1)Cho a,b,c >0
Chứng minh bc/a^2(b+c) + ca/b^2(c+a) +ab/c^2(a+b) > hoặc = 1/2(1/a+1/b+1/c)
2) Cho a,b,c>0 1/a + 1/b + 1/c =1
Chứng minh (b+c)/a^2 + (c+a)/b^2 + (a+b)/c^2 > hoặc = 2
1)Cho a,b,c >0
Chứng minh bc/a^2(b+c) + ca/b^2(c+a) +ab/c^2(a+b) > hoặc = 1/2(1/a+1/b+1/c)
2) Cho a,b,c>0 1/a + 1/b + 1/c =1
Chứng minh (b+c)/a^2 + (c+a)/b^2 + (a+b)/c^2 > hoặc = 2
Đọc tiếp...
MẤY BẠN GIẢI NHANH GIÚP MÌNH MẤY BÀI TOÁN KHÓ NÀY NHA, MAI MÌNH ĐẾN HẠNG NỘP RỒI:
a) Cho a,b,c >0 thỏa 1/a+1/c=2/b. Chứng ming (a+b)/(2a-b)+ (b+c)/(2c-b) >=4
b) cho a,b >0 và a+b<=1. Chứng minh 1/(a^2+ab) + 1/(b^2+ab) >=4
c) cho a,b,c>0. Chứng minh (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)>=9abc
Bài 1
a) Cho ba số a, b, c dương . Chứng tỏ rằng M = a/a+b + b/b+c + c/a+c không là số nguyên
b) Cho tỉ lệ thức a/b =c/d ( b,d khác 0 ; a khác -c ; b khác -d ) . Chứng minh: (a+b/c+d)^2 = a^2+b^2/c^2+d^2
c) Cho 1/c = 1/2(1/a+1/b) (Với a, b, c khác 0; b khác c). Chứng minh rằng: a/b=a-c/c-b
cho a,b,c khác 0 Biết:1/a+1/b+1/c=2 1/a^2+1/b^2+1/c^2=2; chứng minh a+b+c=abc
Lời giải:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2$
$\Rightarrow (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2=4$
$\Leftrightarrow \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac})=4$
$\Leftrightarrow 2+2(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac})=4$
$\Leftrightarrow \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}=1$
$\Leftrightarrow \frac{a+b+c}{abc}=1$
$\Leftrightarrow a+b+c=abc$ (đpcm)
Cho 0 ≤a;b;c ≤2 và a-b;b-c;c-a khác 0. Chứng minh rằng: 1/(a-b)^2 + 1/(b-c)^2 +1/(c-a)^2 ≥9/4
Cho a,b,c là các số dương.
a) CMR: \(a^3+b^3\ge a^2b+ab^2\)
b) Giả sử abc=1. Tìm GTLN của biểu thức:
\(P=\dfrac{1}{a^3+b^3+1}+\dfrac{1}{b^3+c^3+1}+\dfrac{1}{c^3+a^3+1}\)
a) Điều phải chứng minh tương đương với:
\(a^3+b^3-a^2b-b^2a\ge0\\ \Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)+b^2\left(b-a\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\left(luon.dung\right)\)
Dấu = xảy ra khi a=b
b) Áp dụng bất đẳng thức ở phần a ta có:
\(\dfrac{1}{a^3+b^3+1}\le\dfrac{1}{a^2b+b^2a+abc}=\dfrac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\\ =\dfrac{abc}{ab\left(a+b+c\right)}=\dfrac{c}{a+b+c}\left(do.abc=1\right)\)
Tương tự : \(\dfrac{1}{b^3+c^3+1}\le\dfrac{a}{a+b+c};\dfrac{1}{c^3+a^3+1}\le\dfrac{b}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
Dấu = xảy ra <=> a=b=c=1
Cho a.b.c=0 và a+b+c=0. Chứng minh: $\frac{1}{b^2+c^2-a^2} + \frac{1}{c^2+a^2-b^2} + \frac{1}{a^2+b^2-c^2} = 0
Cho abc=0 thì không chứng minh được, a+b+c=0 là đủ rồi
Ta có: a+b+c=0 => a+b=-c
=>(a+b)2=(-c)2
=>a2+2ab+b2=c2
=>a2+b2-c2=-2ab
Tương tự ta có: b2+c2-a2=-2bc ; c2+a2-b2=-2ca
=>\(\frac{1}{b^2+c^2-a^2}+\frac{1}{c^2+a^2-b^2}+\frac{1}{a^2+b^2-c^2}=-\frac{1}{2bc}-\frac{1}{2ca}-\frac{1}{2ab}=\frac{a+b+c}{-2abc}=0\) (đpcm)
Cho \(abc=0\)thì không chứng minh được, \(a+b+c=0\)là đủ rồi.
Ta có: \(a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2=\left(-c\right)^2\)
\(\Rightarrow a^2+2ab+b^2=c^2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2-c^2=-2ab\)
Tương tự ta có: \(b^2+c^2-a^2=-2ab;c^2+a^2-b^2=-2ca\)
\(\Rightarrow\frac{1}{b^2+c^2-a^2}+\frac{1}{c^2+a^2-b^2}+\frac{1}{a^2+b^2-c^2}=-\frac{1}{2bc}-\frac{1}{2ca}-\frac{1}{2ab}=\frac{a+b+c}{-2abc}=0\)
Cho a,b,c thỏa mãn a+b+c=0. Chứng minh rằng: (1/a+1/b+1/c)^2=1/a^2+1/b^2+1/c^2
1Cho x,y >1 . Chứng minh : x2/(y-1) + y2/ (x-1) lớn hơn hoặc bằng 8
2 Cho a,b,c,d >=0 . Chứng minh : (a+b)(a+b+c)(a+b+c+d) / abcd lớn hơn hoặc bằng 64
3 Cho a,b,c >= 0 . Chứng minh : (a+b+c)(ab+bc+ac) lớn hơn hoặc bằng 8(a+b)(b+c)(c+a) / 9
4 Cho a,b,c >=0 và a+b+c =1 . Chứng minh : bc/√(a+bc) + ac/√(b+ac) + ab/√(c+ab) bé hơn hoặc bằng 1/2
xí câu 1:))
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)(1)
Đặt a = x + y - 2 => a > 0 ( vì x,y > 1 )
Khi đó \(\left(1\right)=\frac{\left(a+2\right)^2}{a}=\frac{a^2+4a+4}{a}=\left(a+\frac{4}{a}\right)+4\ge2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}+4=8\)( AM-GM )
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a=2 => x=y=2