Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có : 

\(\frac{a+b-2017c}{c}=\frac{b+c-2017a}{a}=\frac{c+a-2017b}{b}\)

\(=\frac{a+b-2017c+b+c-2017a+c+a-2017b}{a+b+c}=\frac{-2015\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=-2015\)

Do đó : 

\(\frac{a+b-2017c}{c}=-2015\)\(\Leftrightarrow\)\(a+b=2c\) \(\left(1\right)\)

\(\frac{b+c-2017a}{a}=-2015\)\(\Leftrightarrow\)\(b+c=2a\) \(\left(2\right)\)

\(\frac{c+a-2017b}{b}=-2015\)\(\Leftrightarrow\)\(c+a=2b\) \(\left(3\right)\)

Thay (1), (2) và (3) vào \(B=\left(1+\frac{b}{a}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)\left(1+\frac{c}{b}\right)=\frac{a+b}{a}.\frac{c+a}{c}.\frac{b+c}{b}\) ta được : 

\(B=\frac{2c}{a}.\frac{2b}{c}.\frac{2a}{b}=\frac{8abc}{abc}=8\)

Vậy \(B=8\)

Chúc bạn học tốt ~ 

Ta có:

\(\frac{ab}{\sqrt{2017c+ab}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(a+b+c\right)c+ab}}\)

\(=\frac{ab}{\sqrt{a\left(b+c\right)+c\left(b+c\right)}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)

Áp dụng BĐT AM-GM (cô si): \(ab.\frac{1}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{ab}{2}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)=\frac{ab}{2\left(a+c\right)}+\frac{ab}{2\left(b+c\right)}\)

Tương tự với hai BĐT còn lại và cộng theo vế,ta được:

\(A\le\frac{ab}{2\left(a+c\right)}+\frac{ab}{2\left(b+c\right)}+\frac{bc}{2\left(a+b\right)}+\frac{bc}{2\left(a+c\right)}+\frac{ca}{2\left(b+c\right)}+\frac{ca}{2\left(a+b\right)}\)

Thu gọn lại bằng cách cộng những phân thức cùng mẫu và rút gọn phân thức,ta được:

\(A\le\frac{a+b+c}{2}=\frac{2017}{2}\).

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{2017}{3}\)

Vậy...

Ta có bđt \(ab^2+bc^2+ca^2\le\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)=a^2+b^2+c^2\)

\(P=2017\left(\frac{a^3}{1+b^2}+\frac{b^3}{1+c^2}+\frac{c^3}{1+a^2}\right)\)

Ta có: \(\frac{a^3}{1+b^2}+\frac{a\left(1+b^2\right)}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^3}{1+b^2}.\frac{a\left(1+b^2\right)}{4}}=a^2\)

Tương tự suy ra \(\frac{a^3}{1+b^2}+\frac{b^3}{1+c^2}+\frac{c^3}{1+a^2}\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)-\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)-\frac{1}{4}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)\)

\(\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)-\frac{3}{4}-\frac{1}{4}\left(a^2+b^2+c^2\right)=\frac{3}{4}\left(a^2+b^2+c^2\right)-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}.3-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)

tham khảo bài tương tự này :  

Câu hỏi của so yeoung cheing - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

Có vài cách giải nhưng mình thấy cách này nhanh và đẹp ne.

\(\sqrt{2017a+bc}=\sqrt{\left(a+b+c\right)a+bc}=\sqrt{a^2+ab+bc+ca}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\le\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a+\sqrt{2017a+bc}}\le\frac{a}{a+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)

Tương tự rồi cộng lại, ta được:

\(P\le\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=1\)

Dấu "=" khi \(a=b=c=\frac{2017}{3}\)

b) Ta có: [tex]\frac{a^{2} + c^{2}}{b^{2} + a^{2}}[/tex]= [tex]\frac{bc + c^{2}}{b^{2} + bc}= \frac{c(b +c)}{b(b + c)}= \frac{c}{b}[/tex] (đpcm)