https://olm.vn/hoi-dap/question/41860.html

bn vào đây tham khảo nha

a/ x² + xy + y² + 1

= [x² + 2.x.\(\dfrac{y}{2}\) + (\(\dfrac{y}{2}\) )² ] + \(\dfrac{3y^2}{4}\) + 1

= ( x + \(\dfrac{y}{2}\) )² + \(\dfrac{3y^2}{4}\) + 1

Vì \(\left(x+\dfrac{y}{2}\right)^2\) \(\ge\) 0 với mọi x;y

và \(\dfrac{3y^2}{4}\ge0\) với mọi x;y

=> \(\left(x+\dfrac{y}{2}\right)^2+\dfrac{3y^2}{4}\ge0\) với mọi x;y

=> \(\left(x+\dfrac{y}{2}\right)^2+\dfrac{3y^2}{4}+1>0\)

Bien doi tuong BDT 

\(\frac{x^2}{x-2}\ge8\)

\(\Leftrightarrow x^2\ge8x-16\)

\(\Leftrightarrow x^2-8x+16\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-4\right)^2\ge0\left(True\right)\)

Dau '=' xay ra khi \(x=4\)

\(B=\left(\frac{a+b}{c}\right)+\left(\frac{b+c}{a}\right)+\left(\frac{c+a}{b}\right)\)

\(\Leftrightarrow B=\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{c}{b}+\frac{a}{b}\right)\)

\(\Leftrightarrow B=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\)

Ta cần CM BĐT : \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

Nhân 2 vế với ab,ta đc:

\(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right).ab\ge2ab\Leftrightarrow\frac{a^2b}{b}+\frac{b^2a}{a}\ge2ab\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng với mọi a,b)

=>ĐPCM

CM tương tự với 2 BĐT còn lại

Cộng theo vế các BĐT,ta đc \(B\ge2+2+2=6\)