n . ( n + 2 ) . ( n + 7 )

= n . n . n ( 2 + 7 )

= n³ ( 2 + 7 )

= n³ . 9 

Vì n³ bắt buộc phải chia hết cho 3 và 9 chia hết cho 3

=> n . ( n + 2 ) . ( n + 7 ) sẽ chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên

n.(n+2).(n+7)

=n.n.n.(2+7)

=n^3.(2+7)

=2^3.9

n^3 chia hết cho 3;9 nên n.(n+2).(2+7) xẽ chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên

n . ( n + 2 ) . ( n + 7 ) 

= n . n . n . ( 2 + 7 )

= n³ . 9 

Ta thấy 9 chia hết cho 3

n³ chắc chắn phải chia hết cho 3

=> Biểu thức trên chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên

a: Với n=3 thì \(n^3+4n+3=3^3+4\cdot3+3=42⋮̸8\) nha bạn

b: Đặt \(A=n^3+3n^2-n-3\)

\(=\left(n^3+3n^2\right)-\left(n+3\right)\)

\(=n^2\left(n+3\right)-\left(n+3\right)\)

\(=\left(n+3\right)\left(n^2-1\right)\)

\(=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+3\right)\)

n lẻ nên n=2k+1

=>\(A=\left(2k+1-1\right)\left(2k+1+1\right)\left(2k+1+3\right)\)

\(=2k\cdot\left(2k+2\right)\left(2k+4\right)\)

\(=8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

Vì k;k+1;k+2 là ba số nguyên liên tiếp

nên \(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)⋮3!=6\)

=>\(A=8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)⋮6\cdot8=48\)

c: 

d: Đặt \(B=n^4-4n^3-4n^2+16n\)

\(=\left(n^4-4n^3\right)-\left(4n^2-16n\right)\)

\(=n^3\left(n-4\right)-4n\left(n-4\right)\)

\(=\left(n-4\right)\left(n^3-4n\right)\)

\(=n\left(n-4\right)\left(n^2-4\right)\)

\(=\left(n-4\right)\cdot\left(n-2\right)\cdot n\cdot\left(n+2\right)\)

n chẵn và n>=4 nên n=2k

B=n(n-4)(n-2)(n+2)

\(=2k\left(2k-2\right)\left(2k+2\right)\left(2k-4\right)\)

\(=2k\cdot2\left(k-1\right)\cdot2\left(k+1\right)\cdot2\left(k-2\right)\)

\(=16k\left(k-1\right)\left(k+1\right)\left(k-2\right)\)

Vì k-2;k-1;k;k+1 là bốn số nguyên liên tiếp

nên \(\left(k-2\right)\cdot\left(k-1\right)\cdot k\cdot\left(k+1\right)⋮4!=24\)

=>B chia hết cho \(16\cdot24=384\)

Mỗi số khi chia cho 3 thì xảy ra 1 trong 3 trường hợp sau:

             n=3k;n=3k+1;n=3k+2 (k là số tự nhiên)

+ Nếu n= 3k thì=> n(n+2)(n+13) chia hết cho 3.        (1)

+Nếu n=3k+1 => :n(n+2)(n+13)=(3k+1)(3k+1+2)(3k+1+13)

                                             =(3k+1)(3k+3)(3k+14)

                                             =(3k+1)(k+1)3(3k+14)

Vì 3 chia hết cho 3=>(3k+1)(k+1)3(3k+14) chia hết cho 3.

Hay n(n+2)(n+13) chia hết cho 3.                    (2)

+Nếu n=3k+2 =>n(n+2)(n+13)=(3k+2)(3k+2+2)(3k+2+13)

                                           =(3k+2)(3k+4)(3k+15)

                                           =(3k+2)(3k+4)(k+5)3

Vì 3 chia hết cho 3=>(3k+2)(3k+4)(k+5)3 chia hết cho 3.

Hay n(n+2)(n+13) chia hết cho 3.              (3)

Từ (1),(2) và (3) => với mọi số tự nhiên n thì n(n+2)(n+13) chia hết cho 3.

Vậy với mọi số tự nhiên n thì n(n+2)(n+13) chia hết cho 3.

cảm ơn cậu

Ta có: \(5.19^n+1\equiv2.1^n+1\equiv0\left(mod3\right)\)=> ĐPCM

Dùng phương pháp xét tính chẵn lẻ em nhé

Với n là số tự nhiên ta có: n + 7 - (n + 4) = 3 (là số lẻ)

Vậy n + 7 và n + 4 khác tính chẵn lẻ hay một trong hai số phải có một số là số chẵn và một số là số lẻ. Mà số chẵn thì luôn chia hết cho 2

Vậy (n +4).(n +7) ⋮ 2 ∀ n \(\in\) N

Vậy (n +4).(n +7) ⋮ 2 ∀ n $\in$ N

Bài 5: 

Ta có: \(3n+4⋮n-1\)

\(\Leftrightarrow n-1\in\left\{1;-1;7;-7\right\}\)

hay \(n\in\left\{2;0;8;-6\right\}\)