Giới hạn trên có dạng \(\infty-\infty\), ta đưa nó về dạng \(\frac{0}{0}\) nhờ phép biến đổi sau :

Đặt \(x=\frac{1}{y}\), khi \(x\rightarrow+\infty\) thì \(y\rightarrow0\)

Ta có : \(L=\lim\limits_{y\rightarrow0}\frac{\sqrt[3]{\left(1+a_1y\right)\left(1+a_2y\right)\left(1+a_3y\right)}-1}{y}\)

Áp dụng phép đổi biến \(x=\frac{1}{y}\) ta có "

\(L=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(\sqrt[n]{\left(x+a_1\right)\left(x+a_1\right)......\left(x+a_1\right)}-x\right)=\frac{a_1+a_2+....+a_n}{n}\)

Do \(\left(a_1-a_2\right)+\left(a_2-a_3\right)+...+\left(a_{10}-a_1\right)=0\) là 1 số chẵn

\(\Rightarrow\left|a_1-a_2\right|+\left|a_2-a_3\right|+...+\left|a_{10}-a_1\right|\) là một số chẵn

Mà \(2015\) lẻ \(\Rightarrow\) không tồn tại bộ số nguyên nào thỏa mãn phương trình

Giải:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{a_1-1}{9}=\frac{a_2-2}{8}=\frac{a_3-3}{7}=...=\frac{a_9-9}{1}=\frac{a_1-1+a_2-2+a_3+...+a_9-9}{9+8+7+...+1}=\frac{\left(a_1+a_2+...+a_9\right)-\left(1+2+...+9\right)}{45}=\frac{90-45}{45}=1\)

\(\Rightarrow a_1=1+9=10\)

\(\Rightarrow a_2=8+2=10\)

\(\Rightarrow a_3=7+3=10\)

...

\(\Rightarrow a_9=1+9=10\)

Vậy \(a_1=a_2=a_3=...=a_9=10\)

\(\frac{a_1-1}{9}=\frac{a_2-2}{8}=...=\frac{a_9-9}{1}\)

Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau:

\(\Rightarrow\frac{a_1-1}{9}=\frac{a_2-2}{8}=...=\frac{a_9-1}{1}=\frac{a_1+a_2+...+a_9-\left(1+2+3+...+9\right)}{9+8+7+...+1}=\frac{90-45}{45}=1\)

\(\Rightarrow a_1-1=9\)

\(a_2-2=8\)

\(a_3-3=7\)

...................

\(a_9-9=1\)

Vậy \(a_1=a_2=a_3=a_4=a_5=a_{ }_6=a_7=a_8=a_9=10\)

Bài này giống bài bình thường khác mỗi nhiều số

Áp dụng dãy tỉ số bàng nhau ta có :

     \(\frac{a1+1}{9}=\frac{a2+8}{8}=...=\frac{a9+9}{1}=\frac{a1+1+a2+2+..a9+9}{1+2+3+..+9}=\frac{\left(a1+a2+..+a9\right)+1+2+..+9}{1+2+3+..+9}\)

       \(=\frac{90+45}{45}=\frac{135}{45}=3\)

=> a1+1 = 27 => a 1 = 26 

=>a2+ 2 = 24 => a2 = 22 

...............................

tương tự tìm tiếp 

\(\frac{a_1-1}{9}=\frac{a_2-2}{8}=...=\frac{a_9-9}{1}=\frac{a_1-1+a_2-2+...+a_9-9}{9+8+...+1}\)

\(=\frac{\left(a_1+a_2+...+a_9\right)-\left(1+2+...+9\right)}{45}\)

\(=\frac{90-45}{45}=\frac{45}{45}=1\)

=> a₁ - 1 = 9 => a₁ = 10

     a₂ - 2 = 8 => a₂ = 10

.........................

     a₉ - 9 = 1 => a₉ = 10

KL: a₁ = a₂ =.......= a₉ = 10

a_{1 = 2}

a2 = 3

a₃ = 4

a₄ = 5

a₅ = 6

a₆ = 7

a₇ = 8

a₈ = 9

a₉ = 10