x²=yz  => \(\frac{x}{y}=\frac{z}{x}\)

\(z^2=xy\Rightarrow\frac{z}{x}=\frac{y}{z}\)

\(\Rightarrow\frac{x}{y}=\frac{z}{x}=\frac{y}{z}\)

áp dụng ... ta có

\(\frac{x}{y}=\frac{z}{x}=\frac{y}{z}=\frac{x+z+y}{y+x+z}=1\)

\(\frac{x}{y}=1\Rightarrow x=y\)

\(\frac{z}{x}=1\Rightarrow z=x\)

=>x=y=z

Ta có: x²=yz,y²=xz,z²=xy

=>x²+y²+z²=yz+xz+xy

=>2x²+2y²+2z²=2xy+2yz+2xz

=>2x²+2y²+2z²-2xy-2yz-2xz=0

=>(2x²-2xy)+(2y²-2yz)+(2z²-2xz)=0

=>(x²-2xy+x²)+(y²-2yz+y²)+(z²-2xz+z²)=0

=>(x-y)²+(y-z)²+(z-x)²=0

Ta thấy : (x-y)²>0 với mọi x,y

(y-z)²>0 với mọi y,z

(z-x)²>0 với mọi x,z

=>(x-y)²+(y-z)²+(z-x)²>0 với mọi x,y,z

Mà (x-y)²+(y-z)²+(z-x)²=0

=>(x-y)²=(y-z)²=(z-x)²=0

=>x-y=y-z=z-x=0

=>x=y=z

Ta có \(\dfrac{\left(x^2-yz\right)^2}{a^2}=\dfrac{\left(y^2-zx\right)\left(z^2-xy\right)}{bc}\) mà a² = bc nên:

\(\left(x^2-yz\right)^2=\left(y^2-zx\right)\left(z^2-xy\right)\).

\(\Leftrightarrow x^4+y^2z^2-2x^2yz=y^2z^2+x^2yz-xy^3-xz^3\)

\(\Leftrightarrow x^4+xy^3+xz^3-3x^2yz=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x^3+y^3+z^3=3xyz\end{matrix}\right.\).

Rõ ràng nếu \(x^3+y^3+z^3=3xyz\) thì \(x=y=z\) (tính chất quen thuộc). Do đó \(\dfrac{x^2-yz}{a}=0\) (vô lí).

Do đó x = 0.

Kết hợp với x + y + z = 2010 thì y + z = 2010.

Rõ ràng với mọi x, y, z thỏa mãn y + z = 2010 và x = 0 thì ta thấy thỏa mãn đk bài toán.

Vậy...

Đặt x^ 2 = yz (1) ; y ^2 = xz (2) ; z ^2 = xy (3)

Từ (1) => z= x^ 2 /y. Từ (2) => z = y ^2 /x => x^2 /y = y^2 /x => x ^3 = y ^3 => x = y (*)

Tương tự : Từ (1) => y =x^ 2 /z. Từ (3) => y = z^ 2 /x => x^ 2 /z = z^ 2 /x => x ^3 = z^3 => x = z(**)

Từ (*) và (**) suy ra x = y = z 

CHÚC BẠN HỌC GIỎI

TK MÌNH NHÉ

Đặt x^ 2 = yz (1) ; y ^2 = xz (2) ; z ^2 = xy (3)

Từ (1) => z= x^ 2 /y. Từ (2) => z = y ^2 /x => x^2 /y = y^2 /x => x ^3 = y ^3 => x = y (*)

Tương tự : Từ (1) => y =x^ 2 /z. Từ (3) => y = z^ 2 /x => x^ 2 /z = z^ 2 /x => x ^3 = z^3 => x = z(**)

Từ (*) và (**) suy ra x = y = z 

CHÚC BẠN HỌC GIỎI

TK cho thằng này đi

Đặt x^ 2 = yz (1) ; y ^2 = xz (2) ; z ^2 = xy (3)

Từ (1) => z= x^ 2 /y. Từ (2) => z = y ^2 /x => x^2 /y = y^2 /x => x ^3 = y ^3 => x = y (*)

Tương tự : Từ (1) => y =x^ 2 /z. Từ (3) => y = z^ 2 /x => x^ 2 /z = z^ 2 /x => x ^3 = z^3 => x = z(**)

Từ (*) và (**) suy ra x = y = z 

CHÚC BẠN HỌC GIỎI

TK cho thằng này đi

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-yz=a\\y^2-xz=b\\z^2-xy=c\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^3-xyz=ax\\y^3-xyz=by\\z^3-xyz=cz\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow ax+by+cz=x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y\right)^3+z^3-3xy\left(x+y\right)-3xyz=\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)z+z^2\right]-3xy\left(x+y+z\right)=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)⋮\left(x+y+z\right)\)