Ta có:

NA là tia phân giác \(\widehat{MNP}\)=>\(\widehat{ANM}=\frac{\widehat{MNP}}{2}\)

PB là tia phân giác \(\widehat{MPN}\)=>\(\widehat{BPM}=\frac{\widehat{MPN}}{2}\)

Mà \(\widehat{MNP}=\widehat{MPN}\)(tam giác MNP cân tại M)

=>\(\widehat{ANB}=\widehat{MPB}\)

Xét tam giác MAN và tam giác MBP có:

Góc M chung

MN=MP(tam giác MNP cân tạ M)

Góc ANM=góc MPB(cmt)

=>tam giác MPB=tam giác MNA

a: góc KPM=góc KPB+góc MPN=45 độ+góc BNH

góc HMN=góc HMA+góc NMA=45 độ+góc HMA

mà góc BNH=góc HMA

nên góc KPM=góc HMN

b: ΔMNP vuông cân tại M

mà MA là trung tuyến

nên MA=AP

=>ΔMAP cân tại M

a) Xét ΔNAM vuông tại M và ΔNDA vuông tại D có 

NA chung

NA=ND(gt)

Do đó: ΔNAM=ΔNDA(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

⇒\(\widehat{MNA}=\widehat{DNA}\)(hai góc tương ứng)

mà tia NA nằm giữa hai tia NM,NDnên NA là tia phân giác của \(\widehat{NMD}\)hay NA là tia phan giác của \(\widehat{NMP}\)(đpcm)b) Xét ΔNMD có NM=ND(gt)nên ΔNMD cân tại N(Định nghĩa tam giác cân)Xét ΔNMD cân tại N có \(\widehat{MND}=60^0\)(gt)nên ΔNMD đều(Dấu hiệu nhận biết tam giác đều)c) Ta có: ΔNMP vuông tại M(gt)nên \(\widehat{NMP}+\widehat{MPN}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)\(\Leftrightarrow\widehat{MPN}=90^0-\widehat{NMP}=90^0-60^0=30^0\)(1)Ta có: NA là tia phân giác của \(\widehat{MNP}\)(cmt)nên \(\widehat{PNA}=\dfrac{\widehat{MNP}}{2}=\dfrac{60^0}{2}=30^0\)(2)Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{APN}=\widehat{ANP}\)Xét ΔANP có \(\widehat{APN}=\widehat{ANP}\)(cmt)nên ΔANP cân tại A(Định lí đảo của tam giác cân)Ta có: ΔANP cân tại A(gt)mà AD là đường cao ứng với cạnh đáy NP(gt)nên AD là đường trung tuyến ứng với cạnh NP(Định lí tam giác cân)hay D là trung điểm của NP(đpcm)

a: Xét ΔBAM vuông tại A và ΔCAN vuông tại A có

BA=CA

góc B=góc C

=>ΔBAM=ΔCAN

b: ΔBAM=ΔCAN

=>AM=AN

góc MAB=90 độ

góc B=30 độ

=>góc AMN=60 độ

=>ΔAMN đều

góc NAB=120-90=30 độ=góc B

=>ΔNAB cân tại N

góc MAC=120-90=30 độ=góc C

=>ΔMAC cân tại M

GiẢi

a , Xét tam giác MNA và tam giác DNA có :

NM=ND (GT)

Góc NMA = góc NDA =90 độ

NA là cạnh chung

=> Tam giác MNA = tam giác DNA (c.g.c)

=> Góc MNA =góc DNA ( hai góc tương ứng)

=. NA là tia phân giác của góc MNP

b, Tam giác MND là tâm giác đều vì mỗi góc đều có só đo = 60 độ

d,Xetstam giác MBA và tam giác DPA có :

BM=DP(GT)

góc MAB = góc DPA ( đối đỉnh)

MA=DA (hai cạnh tương ứng của tam giác MNA=tam giác DNA)

=> Tam giác MBA = tam giác DPA (c.g.c)

=> AB=PA ( hai cạnh tương ứng)

=> Tam giác APB cận tại A

e, AD vuông góc với NP

BD vuông góc với NP

=. D,A,B thẳng hàng

Xét tam giác PAB ta có:

PA = PB (gt)

-> tam giác PAB cân tại P 

-> góc PAB = góc PBA ( tính chất tam giác cân )

Xét tam giác MNP cân tại P , ta có:

góc M= góc N ( tính chất tam giác cân )

Xét tam giác PAB ta có:

Góc P+ PAB + PBA = 180 độ ( định lí tổng 3 góc trong tam giác )

mà PAB=PBA (cmt)

-> PAB = \(\frac{180-P}{2}\left(1\right)\)

Xét tam giác PMN, ta có:

P + M +N = 180 độ ( định lí tổng 3 góc trong tam giác )

-> M = \(\frac{180-P}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) -> PAB = M 

mà PAB và M là 2 góc đồng vị

-> AB // MN ( dấu hiệu nhận biết 2 đường thẳng song song)

Xét tứ giác MABN ,ta có:

AB // MN 

-> MABN là hình thang có 2 góc M và N kề 1 đáy bằng nhau

-Lưu ý: Chỉ mang tính chất tóm tắt lại bài làm, bạn không nên trình bày theo!

a) △MNP vuông tại M \(\Rightarrow MN^2+MP^2=NP^2\Rightarrow NP^2=\sqrt{MN^2+MP^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\left(cm\right)\)

△MNP có: ND phân giác.\(\Rightarrow\dfrac{DM}{DP}=\dfrac{NM}{NP}\)

\(\Rightarrow\dfrac{DM}{NM}=\dfrac{DP}{NP}=\dfrac{DM+DP}{NM+NP}=\dfrac{MP}{NM+NP}\)

\(\Rightarrow DM=\dfrac{MP.NM}{NM+NP}=\dfrac{4.3}{3+5}=1,5\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow DP=\dfrac{MP.NP}{NM+NP}=\dfrac{4.5}{3+5}=2,5\left(cm\right)\)

b) △MNH∼△PNM (g-g) \(\Rightarrow\dfrac{MN}{PN}=\dfrac{NH}{NM}\)

△MNH có: NK phân giác \(\Rightarrow\dfrac{NH}{NM}=\dfrac{KH}{KM}=\dfrac{MN}{PN}=\dfrac{DM}{DP}\)

c) △MND∼HNK (g-g) \(\Rightarrow\widehat{MDN}=\widehat{HKN}=\widehat{MKD}\); \(\dfrac{NM}{NH}=\dfrac{ND}{NK}\Rightarrow NH.ND=NM.NK\)

\(\Rightarrow\)△MDK cân tại M