a)

Ta có:

     G là trọng tâm của tam giác ABC (giao điểm của ba đường trung tuyến);

     H là trực tâm của tam giác ABC (giao điểm của ba đường cao);

     I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC;

     O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC (Đường trung trực đi qua trung điểm của cạnh và vuông góc với cạnh tại trung điểm đó).

Mà tam giác ABC đều nên trong tam giác ABC đường trung tuyến đồng thời là đường cao và là đường phân giác.

Vậy bốn điểm G, H, I, O trùng nhau hay nếu tam giác ABC đều thì bốn điểm G, H, I, O trùng nhau.

b) 

Giả sử trong tam giác ABC có hai điểm trùng nhau là H (trực tâm của tam giác) và I (giao của ba đường phân giác).

Hay AD, BE, CF vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của tam giác ABC.

Xét tam giác ADB và tam giác ADC có:

\(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}\) ( vì AD là tia phân giác của góc BAC)

AD chung;

\(\widehat {ADB} = \widehat {ADC}(=90^0)\) (vì \(AD \bot BC\));

Vậy \(\Delta ADB = \Delta ADC\)(g.c.g). Suy ra: AB = AC( 2 cạnh tương ứng). (1)

Tương tự ta có: \(\Delta AEB = \Delta CEB\)(c.g.c). Suy ra: AB = BC ( 2 cạnh tương ứng). (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AB = BC = AC.

Vậy tam giác ABC đều hay nếu tam giác ABC có hai điểm trong bốn điểm G, H, I, O trùng nhau thì tam giác ABC là tam giác đều.

Cho tam giấc BC. Trên cạnh BC lấy D sao cho BD 25 x BC. Trên AD lấy AM 23 x AD. Tính diện tích tam giác ABM biết diện tích ABC là 54 cm2

a: Xét ΔABC có AB=AC

nên ΔABC cân tại A

=>\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)

b: Ta có: ΔABC cân tại A

=>\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)

mà \(\widehat{ABC}=70^0\)

nên \(\widehat{ACB}=70^0\)

Ta có: ΔABC cân tại A

=>\(\widehat{BAC}=180^0-2\cdot\widehat{B}=40^0\)

c: Sửa đề: Chứng minh ΔABI=ΔACI

Xét ΔABI và ΔACI có

AB=AC

BI=CI

AI chung

Do đó: ΔABI=ΔACI

d: Xét tứ giác ABMC có

I là trung điểm chung của AM và BC

=>ABMC là hình bình hành

=>MB=AC và MB//AC

e: Xét tứ giác ANBM có

K là trung điểm chung của AB và MN

=>ANBM là hình bình hành

=>AN//BM và AN=BM

Ta có: AN//BM

AC//BM

AN,AC có điểm chung là A

Do đó: N,A,C thẳng hàng

Ta có: AN=BM

AC=BM

Do đó: AN=AC

mà N,A,C thẳng hàng

nên A là trung điểm của NC

Xét tg IAB

IA+IB>AB (trong tg tổng độ dài hai cạnh bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại) (1)

Tương tự

IB+IC>BC (2)

IA+IC>AC (3)

Cộng 2 vế của (1) (2) (3)

2(IA+IB+IC)>AB+BC+AC=10 cm

=> IA+IB+IC>5 cm

Bài 1:

a: Xét tứ giác AMCK có

I là trung điểm của AC

I là trung điểm của MK

Do đó: AMCK là hình bình hành

mà \(\widehat{AMC}=90^0\)

nên AMCK là hình chữ nhật

b: BH=BC/2=5(cm)

=>AH=12cm

\(S_{ABC}=\dfrac{AH\cdot BC}{2}=\dfrac{12\cdot10}{2}=60\left(cm^2\right)\)