Bài 1: 

a: Xét tứ giác ABCD có góc B+góc D=180 độ

nên ABCD là tứ giác nội tiếp

=>góc BAC=góc BDC và góc DAC=góc DBC

mà góc CBD=góc CDB

nên góc BAC=góc DAC

hay AC là phân giác của góc BAD
b: Ta có: góc BCA=góc BAC

=>góc BCA=góc CAD

=>BC//AD

=>ABCD là hình thang

mà góc B=góc BCD

nên ABCD là hình thang cân

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N là trung điểm của AD và BC, biết MN =(AB + CD)/2. C/M ABCD là hình thang

gọi I là giao điểm của MN và BD 
ta có 
MN=(AB + DC)/2 
=> MI + IN = AB/2 + DC/2 
=> MI = AB/2 và IN = DC/2 
=> MI và IN là đường tb của tam giác ABD và tam giác BDC 
=> MI // AB và IN // DC 
vì M,I,N thẳng hàng nên => AB // DC => tứ giác ABCD là hình thang 

Cho mình hỏi sao MI=AB/2 và IN=DC/2

dễ mà tính chất đường trung bình của tam giác suy ra diều phải chứng minh

rồi xét các tam giác còn lại 

Nối A với D

Gọi K là trung điểm BD

Xét tam giác ABD có:

Mlà trung điểm AD

K là trung điểm BD

=> MK là đường trung bình

\(\Rightarrow MK=\dfrac{1}{2}AB\left(1\right)\)

Xét tam giác BDC có:

K là trung điểm BD

N là trung điểm BC

=> NK là đường trung bình

\(\Rightarrow NK=\dfrac{1}{2}DC\left(2\right)\)

\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow MK+NK=\dfrac{1}{2}\left(BC+DC\right)\)

Mà \(MK+NK\ge MN\)(bất đẳng thức trong tam giác KMN)

\(\Rightarrow MN\le\dfrac{AB+DC}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow MK+NK=MN\)

\(\Leftrightarrow\) K là trung điểm MN

Trên tia đối của PB lấy H sao cho BP = PH

ΔBPC và ΔHPD có:

BP = HP (cách vẽ)

\(\widehat{BPC}=\widehat{HPD}\left(đối.đỉnh\right)\) (đối đỉnh)

PC = PD (gt)

Do đó, ΔBPC=ΔHPD(c.g.c)

=> BC = DH (2 cạnh t/ứng)

và \(\widehat{PBC}=\widehat{PHD}\) (2 góc t/ứ), mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên BC // HD

ΔABH có: M là trung điểm của AB (gt)

P là trung điểm của BH (vì HP = BP)

Do đó MP là đường trung bình của ΔABH

\(\Rightarrow MP=\dfrac{1}{2}AH\) ; MP // AH 

\(\Rightarrow2MP=AH\)

Có: \(AD+DH\ge AH\) (quan hệ giữa 3 điểm bất kì)

\(\Leftrightarrow AD+BC\ge2MP\) (thay \(DH=BC;AH=2MP\))

\(\Leftrightarrow\dfrac{AD+BC}{2}\ge MP\)

Mà theo đề bài: \(MP=\dfrac{BC+AD}{2}\)

Do đó, \(AD+DH=AH\)

=> A,D,H thẳng hàng

Mà HD // BC (cmt) nên AD // BC

Tương tự: AB // CD

Tứ giác ABCD có: AD // BC (cmt);AB // CD (cmt)

Do đó, ABCD là hình bình hành 

a, Xét tg ACD có :

AM=MB (gt) và DQ=OQ (gt)

=> MQ là đtb 

=> MQ//AD và MQ=1/2AD

Xét tg ACD có :

AN=NC (gt) và DP=PC (gt)

=> NP là đtb

=> NP//AD và NP=1/2AD

Từ trên suy ra : MNPQ là hình thoi

b, dễ , không biết nói mình

nhớ k nha bạn

bạn ơi , nếu như bạn thì chỉ có 2 cặp cạnh đối song song và bằng nhau mà ra hình thoi thì siêu thật