+)Theo giả thiết ta có: AB = AC và BD = CE nên:

AB + BD = AC + CE hay AD = AE.

+) Xét ΔABE và ΔACD có:

AB = AC (gt)

∠A chung

AE = AD (chứng minh trên)

⇒ ΔABE = ΔACD (c.g.c)

⇒ BE = CD (2 cạnh tương ứng) (1)

và ∠ABE = ∠ACD (2 góc tương ứng) (2)

Tam giác ABC cân nên ∠B1 = ∠C1. (3)

Từ (2) và (3) ⇒ ∠ABE - ∠B1 = ∠ACD - ∠C1, tức là ∠B2 = ∠C2.

⇒ ΔBIC cân tại I ⇒ IB = IC. (4)

Từ (1) và (4) suy ra BE - IB = CD – IC, tức là IE = ID.

a: Ta có: \(\widehat{ABC}+\widehat{DBC}=180^0\)(hai góc kề bù)

\(\widehat{ACB}+\widehat{BCE}=180^0\)(hai góc kề bù)

mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)

nên \(\widehat{DBC}=\widehat{BCE}\)

Xét ΔDBC và ΔECB có

BD=CE

\(\widehat{DBC}=\widehat{ECB}\)

BC chung

Do đó: ΔDBC=ΔECB

=>DC=EB 

ΔDBC=ΔECB

=>\(\widehat{BCD}=\widehat{CBE}\)

=>\(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)

=>ΔIBC cân tại I

=>IB=IC

Ta có: IB+IE=BE

IC+ID=CD
mà IB=IC và BE=CD

nên IE=ID

b: Xét ΔABC có \(\dfrac{AB}{BD}=\dfrac{AC}{CE}\)

nên BC//DE
c: Ta có: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: MB=MC

=>M nằm trên đường trung trực của BC(2)

Ta có: IB=IC

=>I nằm trên đường trung trực của BC(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra A,M,I thẳng hàng

)BD=CE mà AB=AC -> EA=DA
a) xét tam giác EAB và tam giác DAC có :
AB=AC ( tam giác ABC cân tại A )
góc EAB = góc DAC (đối đỉnh )
EA=AD (cmt)
-> tam giác EAB=tam giác DAC ( c.g.c)
-> góc EBA = góc DCA ( cặp góc tương ứng )
-> ED=DC ( cặp cạnh tương ứng )
*) tam giác ABC cân tại A -> góc B = góc C
mà góc EBA=góc DCA -> góc EBC= góc DCB
-> tan giác IBC cân tại I -> IB=IC
**) IB=IC ( cmt )
mà EB=DC
-> ID=IE

b) tam giác AED có AE=AD
-> tam giác AED cân tại A -> góc AED = góc EDA (1)
góc B = góc C (cmt) (2)
góc EAD = góc BAC ( đối đỉnh ) (3)
từ (1), (2), (3) -> góc AED = góc ACB
mà 2 góc ở vị trí so le trong -> ED//BC
c) ED cắt IA tại H
xét tam giác IEA và tam giác IDA (cm tương tự ) 2 tam giác = nhau theo trường hợp cạnh góc cạnh

-> I,H,A thẳng hàng (4)
vì ED//BC .
M là trung điểm của BC -> M cũng là trung điểm của ED
-> H , A , M thằng hàng (5)
từ (4) và (5) -> I ,A,M thẳng hàng

)BD=CE mà AB=AC -> EA=DA
a) xét tam giác EAB và tam giác DAC có :
AB=AC ( tam giác ABC cân tại A )
góc EAB = góc DAC (đối đỉnh )
EA=AD (cmt)
-> tam giác EAB=tam giác DAC ( c.g.c)
-> góc EBA = góc DCA ( cặp góc tương ứng )
-> ED=DC ( cặp cạnh tương ứng )
*) tam giác ABC cân tại A -> góc B = góc C
mà góc EBA=góc DCA -> góc EBC= góc DCB
-> tan giác IBC cân tại I -> IB=IC
**) IB=IC ( cmt )
mà EB=DC
-> ID=IE
b) tam giác AED có AE=AD
-> tam giác AED cân tại A -> góc AED = góc EDA (1)
góc B = góc C (cmt) (2)
góc EAD = góc BAC ( đối đỉnh ) (3)
từ (1), (2), (3) -> góc AED = góc ACB
mà 2 góc ở vị trí so le trong -> ED//BC
c) ED cắt IA tại H
xét tam giác IEA và tam giác IDA (cm tương tự ) 2 tam giác = nhau theo trường hợp cạnh góc cạnh

-> I,H,A thẳng hàng (4)
vì ED//BC .
M là trung điểm của BC -> M cũng là trung điểm của ED
-> H , A , M thằng hàng (5)
từ (4) và (5) -> I ,A,M thẳng hàng

a, đơn giản ta CM được hai tam giác DCB và EBC bằng nhau => góc EBC = góc DCB => tam giác BIC cân tại I => IB = IC (đpcm)

tương tự chứng minh được hai tam giác DIB và EIC bằng nhau => ID = IE (đpcm)

b, ta có tam giác DAE cân tại A => 2góc D = 180^o -góc A

             tam giác BAC cân tại A => 2 góc B = 180^o - góc A

=> góc D = góc B  => BC// DE (đpcm)

c, Nối AM => AM vừa là trung tuyến vừa là đường trung trựctại M của BC

    Nối IM => IM vừ là trung tuyến vừa là đường trung trực tại M của BC

=> AM và IM cùng nằm trên đường trung trực của BC tại M hay 3 điểm A,M,I thẳng hàng

a) Tam giác ABC cân tại A suy ra \(\widehat{B_1}=\widehat{C_1}\)

Xét tam giác ABM và tam giác ACM có :

AB = AC ( tam giác ABC cân tại A )

\(\widehat{B_1}=\widehat{C_1}\left(cmt\right)\)

BM = CM ( gt )

\(\Rightarrow\Delta ABM=\Delta ACM\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\)

Xét tam giác ABI và tam giác ACI có :

AI chung

AB = AC ( tam giác ABC cân tại A )

\(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta ABI=\Delta ACI\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow IB=IC\)

Vì AD = AB + BD

AE = AC + BC 

Mà AB = AC ( tam giác ABC cân tại A )

DB = EC ( gt )

\(\Rightarrow AD=AE\)

Xét tam giác ADI và tam giác AEI có :

AI chung

AD = AE ( cmt )

\(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta ADI=\Delta AEI\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow DI=EI\)hay ID = IE 

b) Vì tam giác ABC cân tại A ( gt )

\(\Rightarrow\)\(\widehat{B_1}=\frac{180^o-\widehat{A}}{2}\left(1\right)\)

Vì tam giác ADE có AD = AE ( cmt )

Suy ra tam giác ADE cân 

\(\Rightarrow\widehat{D}=\frac{180^o-\widehat{A}}{2}\left(2\right)\)

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra \(\widehat{B_1}=\widehat{D}\)mà hai góc này ở vị trí đồng vị

Suy ra BC // DE 

c) Ta có : \(\widehat{M_2}=\widehat{M_1}\left(\Delta ABM=\Delta ACM\right)\left(cmt\right)\)

Mà \(\widehat{M_1}+\widehat{M_2}=180^o\)( 2 góc này ở vị trí kề bù )

\(\widehat{M_2}=\widehat{M_3}\)( đối đỉnh )

\(\Rightarrow\widehat{M_1}+\widehat{M_3}=180^o\)

\(\Rightarrow\)A ; M ; I thẳng hàng