\(\left(x-y\right)\left(y+1\right)+y=15\)

=>\(\left(x-y\right)\left(y+1\right)+y+1=16\)

=>(y+1)(x-y+1)=16

mà x,y là các số tự nhiên

nên \(\left(y+1\right)\left(x-y+1\right)=1\cdot16=2\cdot8=4\cdot4=8\cdot2=16\cdot1\)

=>\(\left(y+1;x-y+1\right)\in\left\{\left(1;16\right);\left(2;8\right);\left(4;4\right);\left(8;2\right);\left(16;1\right)\right\}\)

=>\(\left(y;x-y+1\right)\in\left\{\left(0;16\right);\left(1;8\right);\left(3;4\right);\left(7;2\right);\left(15;1\right)\right\}\)

=>\(\left(y,x\right)\in\left\{\left(0;15\right);\left(1;8\right);\left(3;6\right);\left(7;8\right);\left(15;15\right)\right\}\)

x + y + xy = 2

<=> x + xy + y = 2

<=> x + y(x + 1) = 2

<=> x + 1 + y(x + 1) = 2 + 1

<=> (x + 1)(y + 1) = 3

=> x + 1 và y + 1 phải là ước của 3

Ư(3) = { - 3; - 1; 1; 3 }

Nếu x + 1 = - 3 thì y + 1 = - 1 => x = - 4 thì y = - 2

Nếu x + 1 = - 1 thì y + 1 = - 3 => x = - 2 thì y = - 4

Nếu x + 1 = 1 thì y + 1 = 3 => x = 0 thì y = 2

Nếu x + 1 = 3 thì y + 1 = 1 => x = 2 thì y = 0

Vậy ( x;y ) = { ( -4;-2 ) ; ( -2;-4 ); ( 0;2 ) ; ( 2;0 ) }

x+y+xy=2

x.1+y.1+x.y=2

=> x.y.(1+1)=2

=>x.y.2=2

=>x.y=2:2

=> x.y=1

=> x=1 hoăc -1

     y=1 hoặc -1

Vậy x = 1 hoặc -1, y= 1 hoặc -1

Ta có :

x(y + 2) - y = 3

xy + 2x - y = 3

xy - y + 2x - 2 = 3 - 2

(x - 1)y + 2(x - 1) = 1

(2 + y)(x - 1) = 1 = 1.1 = (-1).(-1)

Xét 2 trường hợp ,ta có :

\(\left(1\right)\hept{\begin{cases}2+y=1\\x-1=1\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=-1\\x=2\end{cases}}}\)

\(\left(2\right)\hept{\begin{cases}2+y=-1\\x-1=-1\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=-3\\x=0\end{cases}}}\)

Ta có \(2x+y-xy=5\Leftrightarrow xy-2x-y+5=0\Leftrightarrow x\left(y-2\right)-\left(y-2\right)+3=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(y-2\right)=-3\).

Ta có bảng:

\(x^3+y^3=\left(x+y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2-x-y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y=0\left(1\right)\\x^2-xy+y^2-x-y=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

(1) thì tự làm nốt
\(\left(2\right)\Leftrightarrow x^2-x\left(y+1\right)+y^2-y=0\)

Xem phương trình ẩn x. Để phương trình có nghiệm thì:
\(\Delta_x=\left(y+1\right)^2-4\left(y^2-y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow0\le y\le2\)

Làm nốt