Chọn đáp án C.

Gọi M là trung điểm của BC: 

Do tam giác ABC đều nên tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC là trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABM ta có:

Bổ sung: ΔABC cân tại A

ΔABC cân tại A

=>AO đi qua trug diểm I của EF

Vẽ IK vuông góc AB tại K, gọi H và G lần lượt là giao của OA với BC và(O)

Vì OE vuông góc AB, IK vuông goc AB, GB vuông góc AB

=>OE//IK//GB

ΔABG có IK//GB

nên IK/BG=AI/AG

=>IK=AI*BG/AG

ΔABH có EI//BH

ΔABE có OE//BG

=>IH/AH=BE/BA=OG/AG và AE/AB=AI/AH

=>IH=AH*OE/AE

ΔABG có OE//BG

nên AB/AE=BG/OE

AH/AI=AB/AE=BG/OE

=>AH*OE=AI*BG 

=>AH*OG=AI*BG

=>IK=IH

=>ĐPCM

M là điểm chính giữa của cung nhỏ BC

=>sđ cung MB=sđ cung MC

=>MB=MC

Xét (O) có

\(\hat{MAB}\) là góc nội tiếp chắn cung MB

\(\hat{MAC}\) là góc nội tiếp chắn cung MC

sđ cung MB=sđ cung MC

Do đó: \(\hat{MAB}=\hat{MAC}\)

=>AM là phân giác của góc BAC

Xét ΔABC có

AM là phân giác

I là tâm đường tròn nội tiếp

Do đó: A,I,M thẳng hàng

Gọi K là giao điểm của BI và (O)

Vì I là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC nên BI là phân giác của góc ABC

Xét (O) có

\(\hat{KBA}\) là góc nội tiếp chắn cung KA

\(\hat{KBC}\) là góc nội tiếp chắn cung KC

\(\hat{KBA}=\hat{KBC}\)

Do đó: sđ cung KA=sđ cung KC

Xét (O) có \(\hat{BIM}\) là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn hai cung BM và AK

=>\(\hat{BIM}\) =1/2(sđ cung BM+sđ cung AK)

=1/2(sđ cung MC+sđ cung CK)

=1/2*sđ cung MK

=\(\hat{KBM}\)

Xét ΔMIB có \(\hat{MIB}=\hat{MBI}\)

nên ΔMBI cân tại M

=>MB=MI

=>MB=MI=MC

a: Gọi H là giao điểm của AB và OC

Xét (O) có

CA,CB là các tiếp tuyến

Do đó: CA=CB và CO là phân giác của góc ACB

TA có: CA=CB

=>C nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1),(2) suy ra CO là đường trung trực của AB

=>CO⊥AB tại H và H là trung điểm của AB

Ta có: \(\hat{CAD}+\hat{OAD}=\hat{CAO}=90^0\)

\(\hat{HAD}+\hat{ODA}=90^0\) (ΔHAD vuông tại H)

mà \(\hat{OAD}=\hat{ODA}\) (ΔOAD cân tại O)

nên \(\hat{CAD}=\hat{HAD}\)

=>AD là phân giác của góc HAC

Xét ΔCAB có

AD,CO là các đường phân giác

AD cắt CO tại D

Do đó: D là tâm đường tròn nội tiếp ΔCAB

b: ΔOAC vuông tại A

=>\(AO^2+AC^2=OC^2\)

=>\(AC^2=\left(2R\right)^2-R^2=3R^2\)

=>\(AC=R\sqrt3\)

Xét ΔAOC vuông tại A có \(\sin ACO=\frac{OA}{OC}=\frac12\)

nên \(\hat{ACO}=30^0\)

CO là phân giác của góc ACB

=>\(\hat{ACB}=2\cdot\hat{ACO}=60^0\)

Xét ΔCAB có CA=CB và \(\hat{ACB}=60^0\)

nên ΔCAB đều

Diện tích tam giác CAB là:

\(S_{CAB}=CA^2\cdot\frac{\sqrt3}{4}=\frac{\left(R\sqrt3\right)^2\cdot\sqrt3}{4}=\frac{3\sqrt3\cdot R^2}{4}\)

Nửa chu vi tam giác CAB là:

\(p=\frac{CA+CB+AB}{2}=\frac{R\sqrt3+R\sqrt3+R\sqrt3}{2}=\frac{3R\sqrt3}{2}\)

Ta có: \(S=p\cdot r\)

=>\(r=\frac{3\sqrt3\cdot R^2}{4}:\frac{3\sqrt3\cdot R}{2}=\frac{3\sqrt3\cdot R^2}{4}\cdot\frac{2}{3\sqrt3\cdot R}=\frac{R}{2}\)

Vì DI = DB (gt) nên tam giác DIB cân tại D

Suy ra: \(\widehat{DIB}=\widehat{DBI}\) =>  \(\widehat{BAD}+\widehat{ABI}=\widehat{IBC}+\widehat{DBC}\)

Mà AD là phân giác góc BAC nên cung BD = cung CD

Ta có: BAD là góc nội tiếp chắn cung BD

           DBC là góc nội tiếp chắn cung CD

Do đó: \(\widehat{BAD}=\widehat{DBC}\Rightarrow\widehat{ABI}=\widehat{IBC}\)

=> BI là phân giác của góc ABC

Lại có: AI là phân giác góc BAC

Vậy I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC (Đpcm)

giúp mình câu b với các bạn ơi