Toán

Ta có:\( \widehat{BIJ}=\widehat{BAI}+\widehat{ABI}\)
\(=\widehat{IAC}+\widehat{IBC}\) (I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC)

Xét (O) : \(\widehat{JAC}=\widehat{JBC}\)

Nên \( \widehat{BIJ}=\widehat{JBC}+\widehat{IBC}=\widehat{IBJ}\)

Suy ra tam giác BIJ cân tại J nên JB=JI 
J ∈đường trung trực của BI
Chứng minh tương tự có: JI=JC nên J ∈đường trung trực của IC
Suy ra J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC
b, Xét O có \(\widehat{JBK} =90^o\)
nên tam giác JBK vuông tại B

BE là đường cao (OB=OC;JB=JC nên OJ trung trực BC)

suy ra \(JB^2=JE.JK\) hay \(JI^2=JE.JK\)
b, Xét (O) có\( \widehat{SBJ}=\widehat{BAJ}=\widehat{JBC} \)(góc tạo bởi tia tt và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung JB)
suy ra BJ là đường phân giác trong\( \widehat{SBE}\)

\(BJ⊥ BK \)nên BK là đường phân giác ngoài tam giác SBE 

suy ra\( \dfrac{SJ}{JE}=\dfrac{SK}{EK}\)

hay \(SJ.EK=SK.JE\)

c, Đặt L là tâm đường tròn bàng tiếp tam giác ABC suy ra A;J;L thẳng hàng
CL phân giác ngoài góc C;CI phân giác ngoài góc C

suy ra
JI=JC nên \(\widehat{JIC}=\widehat{JCI}\)

\( \widehat{JIC}+ \widehat{ILC}=90^o\)

\(\widehat{JCI}+ \widehat{JCL}=90^o\)

nên  \(\widehat{ILC}= \widehat{JCL}\)

suy ra JC=JL nên J là trung điểm IL

Có:\( \widehat{ACL}=\widehat{ACI}+90^o\)

\(\widehat{AIB}=\widehat{ACI}+90^o\)

nên  \(\widehat{ACL}=\widehat{AIB}\)

Lại có: \(\widehat{LAC}=\widehat{BAI}\)

nên tam giác ABI \(\backsim\) tam giác ALC

suy ra \(AB.AC=AI.AL\)

Có trung tuyến SB SC cát tuyến SDA nên tứ giác ABDC là tứ giác điều hòa với \(AB.DC=BD.AC=\dfrac{1}{2}.AD.BC\)

suy ra \(BD.AC=AD.EC\)

cùng với\( \widehat{BDA}=\widehat{ECA}\)

nên tam giác ABD đồng dạng AEC

suy ra \(AB.AC=AD.AE;\widehat{BAD}=\widehat{EAC}\)

vậy \(AD.AE=AI.AL;\widehat{DAI}=\widehat{LAE}\) (do AJ là phân giác góc A)

từ đây suy ra tam giác ADI\( \backsim\) tam giác ALE

nên \(\widehat{ADI}=\widehat{ALE}\)

mà \( \widehat{ADI}= \widehat{AJM}=\widehat{ALE}\)

nên JM//LE

J là trung điểm IL nên JM đi qua trung điểm IE (đpcm)

Ta có:

\(P=\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\left(a+b+c+36abc\right)\)

\(P=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}+3+36\left(ab+bc+ca\right)\)

\(P=\dfrac{a^2+b^2}{ab}+\dfrac{b^2+c^2}{bc}+\dfrac{c^2+a^2}{ca}+3+36\left(ab+bc+ca\right)\)

\(P=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{ab}+\dfrac{\left(b+c\right)^2}{bc}+\dfrac{\left(c+a\right)^2}{ca}-3+36\left(ab+bc+ca\right)\)

\(P\ge\dfrac{4\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca}-3+36\left(ab+bc+ca\right)\)

\(P\ge\dfrac{4}{ab+bc+ca}+36\left(ab+bc+ca\right)-3\ge2\sqrt{\dfrac{4.36\left(ab+bc+ca\right)}{ab+bc+ca}}-3=21\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

Lời giải:

Nếu bạn học dồn biến- thừa trừ rồi thì có thể làm như sau:

$P=\frac{ab+bc+ac}{abc}(1+36abc)=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+36(ab+bc+ac)=f(a,b,c)$

Giả sử $c=\max(a,b,c)$. Ta sẽ chứng minh $f(a,b,c)\geq f(\frac{a+b}{2}, \frac{a+b}{2}, c)$

Thật vậy:

\(f(a,b,c)- f(\frac{a+b}{2}, \frac{a+b}{2}, c)=\frac{(a+b)^2-4ab}{ab(a+b)}+36.\frac{4ab-(a+b)^2}{4}\)

\(=\frac{(a-b)^2}{ab(a+b)}-9(a-b)^2=(a-b)^2(\frac{1}{ab(a+b)}-9)\)

Vì $c=\max (a,b,c)$ mà $a+b+c=1\Rightarrow a+b\leq \frac{2}{3}$

$\Rightarrow ab\leq \frac{1}{4}(a+b)^2\leq \frac{1}{9}$

$\Rightarrow \frac{1}{ab(a+b)}\geq \frac{27}{2}$

$\Rightarrow \frac{1}{ab(a+b)}-9>0$

Do đó: $f(a,b,c)\geq f(\frac{a+b}{2}, \frac{a+b}{2}, c)$

Mà:

$f(\frac{a+b}{2}, \frac{a+b}{2}, c)-21=\frac{4}{a+b}+\frac{1}{c}+36[\frac{(a+b)^2}{4}+c(a+b)]-21$

$=\frac{4}{1-c}+\frac{1}{c}+9(1-c)^2+36c(1-c)-21$

$=\frac{3c+1}{c(1-c)}+9(1-c)^2+36c(1-c)-21$

$=(3c-1)^2.\frac{3c^2-3c+1}{c(1-c)}\geq 0$ với mọi $1>c\geq \frac{1}{3}$

Do đó $f(\frac{a+b}{2}, \frac{a+b}{2}, c)\geq 21$

$\Rightarrow f(a,b,c)\geq 21$

Hay $P_{\min}=21$

\(\left(a-\dfrac{1}{2}\right)\left(a-1\right)\le0\)\(\Leftrightarrow\)\(3a\ge2a^2+1\)

\(P=\Sigma\dfrac{a}{b+c+1}\ge\dfrac{1}{3}\Sigma\left(\dfrac{2a^2+1}{b+c+1}\right)\ge\dfrac{1}{3}\Sigma\left(\dfrac{2a^2+1}{a+b+c+\dfrac{1}{2}}\right)\ge\dfrac{\dfrac{2}{3}\left(a+b+c\right)^2+3}{3\left(a+b+c+\dfrac{1}{2}\right)}\)

Cần CM: \(\dfrac{4t^2+18}{18t+9}\ge\dfrac{3}{4}\) ( với \(\dfrac{3}{2}\le t=a+b+c\le3\) )

\(\Leftrightarrow\)\(\left(t-\dfrac{15}{8}\right)\left(t-\dfrac{3}{2}\right)\ge0\) ( đúng với \(\dfrac{3}{2}\le t\le3\) ) 

...

\(P=\Sigma\dfrac{a}{b+c+1}\le\Sigma\dfrac{a}{b+c+a}=1\)

Lần sau post gõ latex cho dễ nhìn 

Lời giải:

Theo nhị thức Newton:

$C^k_{2016}$ chính là hệ số của $x^k$ trong khai triển $(x+1)^{2016}(*)$

Lại có:

$(x+1)^{2016}=(x+1)^5.(x+1)^{2011}$

\(=(\sum \limits_{i=0}^5C^i_5x^i)(\sum \limits_{j=0}^{2011}C^i_{2011}x^j)\)

Hệ số $x^k$ trong khai triển này tương ứng với $0\leq i\leq 5; 0\leq j\leq 2011$ thỏa mãn $i+j=k$

Hay hệ số của $x^k$ trong khai triển $(x+1)^{2016}$ là:

$C^0_5.C^k_{2011}+C^1_5.C^{k-1}_{2011}+C^2_5C^{k-2}_{2011}+C^3_5.C^{k-3}_{2011}+C^4_5.C^{k-4}_{2011}+C^5_5.C^{k-5}_{2011}(**)$

Từ $(*); (**)$ ta có đpcm.

Lời giải:

$x^{99}+x^{55}+x^n+x-7=(x^{99}+x)+(x^{55}+x)+x^n-x-7$

$=x(x^{98}+1)+x(x^{54}+1)+x^n-x-7$

Hiển nhiên: $x^{98}+1=(x^2)^{49}+1\vdots x^2+1$

$x^{54}+1=(x^2)^{27}+1\vdots x^2+1$

Xét các TH sau:

TH1: $n=4k$ thì $x^n-1=x^{4k}-1\vdots x^4-1\vdots x^2+1$. Khi đó đa thức dư là $-x-6$

TH2: $n=4k+1$ thì $x^{n}-x=x(x^{4k}-1)\vdots x^2+1$. Khi đó đa thức dư là $-7$

TH3: $n=4k+2$ thì: $x^n+1=x^{4k+2}+1=(x^2)^{2k+1}+1\vdots x^2+1$. Khi đó đa thức dư là $-x-8$

TH4: $n=4k+3$ thì $x^n+x=x^{4k+3}+x=x(x^{4k+2}+1)\vdots x^2+1$. Khi đó đa thức dư là $-2x-7$

Lấy ví du về vật có thế năng hấp dẫn so với mặt đất

Không biết em có làm sai không:

ĐKXĐ: \(x,y\ge0\).

Đặt 2x = a; 3y = b. 

 HPT trở thành:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(\sqrt{5}\right)^a-\left(\sqrt{5}\right)^b+\left(a-b\right)\left(ab+12\right)=0\\a^2+b^2=16\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2=16\\\left(\sqrt{5}\right)^a-\left(\sqrt{5}\right)^b+\left(b-a\right)\left(a^2+b^2\right)+a^3-b^3+12\left(a-b\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2=16\\\left(\sqrt{5}\right)^a+a^3-4a=\left(\sqrt{5}\right)^b+b^3-4b=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\).

Giả sử \(a\ge b\Rightarrow\left(\sqrt{5}\right)^a\ge\left(\sqrt{5}\right)^b\). Mà \(\left(a^3-4a\right)-\left(b^3-4b\right)=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2-4\right)\ge0\) nên VT(1) \(\ge\) VP(1). 

Do đẳng thức xảy ra nên ta có a = b. Thay vào ta tìm được a = b = \(2\sqrt{2}\) nên \(x=\sqrt{2};y=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\).

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(\sqrt{5}\right)^{2x}-\left(\sqrt{5}\right)^{3y}=\left(3y-2x\right)\left(6xy+12\right)\left(1\right)\\4x^2+9y^2=16\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(2\right)\Rightarrow4x^2+9y^2-4=12\) the vo (1)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{5}\right)^{2x}-\left(\sqrt{5}\right)^{3y}=\left(3y-2x\right)\left(6xy+4x^2+9y^2-4\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{5}\right)^{2x}-\left(\sqrt{5}\right)^{3y}=27y^3-8x^3-12y+8x\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{5}\right)^{2x}+\left(2x\right)^3-4.\left(2x\right)=\left(\sqrt{5}\right)^{3y}+\left(3y\right)^3-4.\left(3y\right)\left(3\right)\)

Xét hàm số \(f\left(t\right)=\left(\sqrt{5}\right)^{2t}+\left(2t\right)^3-4.2t\)  đồng biến trên R

\(\Rightarrow\left(3\right):f\left(2x\right)=f\left(3y\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=3y\\4x^2+9y^2=16\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\sqrt{2}\\y=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\end{matrix}\right.\)

Lời giải:
Đặt $\sqrt{2x}=a; \sqrt{2y}=b$ thì $0\leq a,b\leq 1$

Bài toán trở thành:
CMR:

$\frac{a}{b^2+2}+\frac{b}{a^2+2}\leq \frac{2}{3}$
$\Leftrightarrow 3(a^3+b^3)+6(a+b)\leq 2a^2b^2+4(a^2+b^2)+8(I)$

--------------------------

Thật vậy:

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\leq 2(a^2-ab+b^2)$

$\Rightarrow 3(a^3+b^3)\leq 6(a^2-ab+b^2)(1)$

$(a-1)(b-1)\geq 0\Rightarrow a+b\leq ab+1$

$\Rightarrow 6(a+b)\leq 6(ab+1)(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow 3(a^3+b^3)+6(a+b)\leq 6(a^2+b^2+1)(*)$

Mà:

$6(a^2+b^2+1)-[2a^2b^2+4(a^2+b^2)+8]$

$=2(a^2+b^2-a^2b^2-1)=2(a^2-1)(1-b^2)\leq 0$

$\Rightarrow 6(a^2+b^2+1)\leq 2a^2b^2+4(a^2+b^2)+8(**)$

Từ $(*);(**)$ suy ra $(I)$ đúng. Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$

Bài 1:

a) \(A=\sqrt{8}+\sqrt{18}-\sqrt{32}\)

\(=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}-4\sqrt{2}\)

\(=\sqrt{2}\)

b) \(B=\sqrt{9-4\sqrt{5}}-\sqrt{5}\)

\(=\sqrt{4-4\sqrt{5}+5}-\sqrt{5}\)

\(=\sqrt{\left(2-\sqrt{5}\right)^2}-\sqrt{5}\)

\(=\left|2-\sqrt{5}\right|-\sqrt{5}\)

\(=\sqrt{5}-2-\sqrt{5}\)

\(=-2\)

Bài 2:

a) \(\left\{{}\begin{matrix}2x-3y=4\\x+3y=2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x=6\\x+3y=2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\2+3y=2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=0\end{matrix}\right.\)

Vậy phương trình có nghiệm là: \(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=0\end{matrix}\right.\)

b) ĐKXĐ: \(x\ne\pm2\)

Với \(x\ne\pm2\), ta có:

\(\dfrac{10}{x^2-4}+\dfrac{1}{2-x}=1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{10}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}-\dfrac{1}{x-2}=1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{10-x-2}{x^2-4}=1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{8-x}{x^2-4}=1\)

\(\Rightarrow x^2-4=8-x\)

\(\Leftrightarrow x^2+x-12=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-3x+4x-12=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-3\right)+4\left(x-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-3=0\\x+4=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=-4\end{matrix}\right.\) (TM)

Vậy phương trình có tập nghiệm là: S ={3; -4}

Gọi số tấn than mỗi ngày đội thợ phải khai thác theo kế hoạch là: x(tấn). 0 < x <260

Số tấn than đã khai thác thực tế trong mỗi ngày là: x + 3 (tấn)

Số ngày mà đội thợ khai thác 260 tấn trong kế hoạch là: \(\dfrac{260}{x}\) (ngày)

Số ngày mà đội thợ khai thác 261 tấn thực tế là: \(\dfrac{261}{x+3}\) (ngày)

Vì trên thực tế, mỗi ngày đội đều khai thác vượt định mức 3 tấn, do đó họ đã khai thác được 261 tấn than và xong trước thời hạn một ngày nên ta có phương trình:

\(\dfrac{261}{x+3}+1=\dfrac{260}{x}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{261+x+3}{x+3}=\dfrac{260}{x}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{264+x}{x+3}=\dfrac{260}{x}\)

\(\Rightarrow260\left(x+3\right)=x\left(264+x\right)\)

\(\Leftrightarrow260x+780=264x+x^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+4x-780=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-26x+30x-780=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-26\right)+30\left(x-26\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-26\right)\left(x+30\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-26=0\\x+30=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=26\left(TM\right)\\x=-30\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy số tấn than mỗi ngày đội thợ phải khai thác theo kế hoạch là: 26 tấn

Cô ơi, làm thế nào để đặt chức năng câu hỏi trắc nghiệm vào trong nội dung ạ?

Có một số bài e dành hơn tiếng để gõ xong nhấn nút lưu lại không được cô ạ :((

Cô ơi, ngoài đổi thành tiền nhưng đổi vào tài khoản ngân hàng hoặc đổi thành thẻ điện thoại thì còn đổi được cái gì nữa không cô ?

Nếu như không còn thì em nghĩ là nên cho đổi coin thành đổi quà nữa vì em không cần thẻ điện thoại và không có tài khoản ngân hàng.