Bài 5: Phương trình mũ và phương trình lôgarit

Trần Thanh Phương

Giải hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(\sqrt{5}\right)^{2x}-\left(\sqrt{5}\right)^{3y}=\left(3y-2x\right)\left(6xy+12\right)\\4x^2+9y^2=16\end{matrix}\right.\)

Chủ đề là gợi ý cho bài này, nhưng mình linh cảm có thể giải một cách đơn giản :v

Trần Minh Hoàng
15 tháng 3 2021 lúc 23:22

Không biết em có làm sai không:

ĐKXĐ: \(x,y\ge0\).

Đặt 2x = a; 3y = b. 

 HPT trở thành:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(\sqrt{5}\right)^a-\left(\sqrt{5}\right)^b+\left(a-b\right)\left(ab+12\right)=0\\a^2+b^2=16\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2=16\\\left(\sqrt{5}\right)^a-\left(\sqrt{5}\right)^b+\left(b-a\right)\left(a^2+b^2\right)+a^3-b^3+12\left(a-b\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2=16\\\left(\sqrt{5}\right)^a+a^3-4a=\left(\sqrt{5}\right)^b+b^3-4b=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\).

Giả sử \(a\ge b\Rightarrow\left(\sqrt{5}\right)^a\ge\left(\sqrt{5}\right)^b\). Mà \(\left(a^3-4a\right)-\left(b^3-4b\right)=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2-4\right)\ge0\) nên VT(1) \(\ge\) VP(1). 

Do đẳng thức xảy ra nên ta có a = b. Thay vào ta tìm được a = b = \(2\sqrt{2}\) nên \(x=\sqrt{2};y=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\).

 

Bình luận (2)
Hoàng Tử Hà
15 tháng 3 2021 lúc 23:49

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(\sqrt{5}\right)^{2x}-\left(\sqrt{5}\right)^{3y}=\left(3y-2x\right)\left(6xy+12\right)\left(1\right)\\4x^2+9y^2=16\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(2\right)\Rightarrow4x^2+9y^2-4=12\) the vo (1)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{5}\right)^{2x}-\left(\sqrt{5}\right)^{3y}=\left(3y-2x\right)\left(6xy+4x^2+9y^2-4\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{5}\right)^{2x}-\left(\sqrt{5}\right)^{3y}=27y^3-8x^3-12y+8x\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{5}\right)^{2x}+\left(2x\right)^3-4.\left(2x\right)=\left(\sqrt{5}\right)^{3y}+\left(3y\right)^3-4.\left(3y\right)\left(3\right)\)

Xét hàm số \(f\left(t\right)=\left(\sqrt{5}\right)^{2t}+\left(2t\right)^3-4.2t\)  đồng biến trên R

\(\Rightarrow\left(3\right):f\left(2x\right)=f\left(3y\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=3y\\4x^2+9y^2=16\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\sqrt{2}\\y=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\end{matrix}\right.\)

 

 

 

Bình luận (2)

Các câu hỏi tương tự
Hùng
Xem chi tiết
CAO ĐỨC TÂM
Xem chi tiết
Quỳnh Như Trần Thị
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
CAO ĐỨC TÂM
Xem chi tiết
Thái Thùy Linh
Xem chi tiết
Nguyễn Yến Nhi
Xem chi tiết
gấu béo
Xem chi tiết
Thái Thùy Linh
Xem chi tiết