Nội dung lý thuyết
Phương trình mũ cơ bản có dạng
\(a^x=b\left(a>0,a\ne1\right)\)
Để giải phương trình trên, ta sử dụng định nghĩa lôgarit.
Với \(b>0\), ta có \(a^x=b\Leftrightarrow x=\log_ab\). Phương trình có nghiệm duy nhất.
Với \(b\le0\), phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 1: Giải phương trình \(2^{2x-1}+4^{x+1}=5\).
Giải:
Ta có: \(2^{2x-1}+4^{x+1}=5\) \(\Leftrightarrow2^{-1}.2^{2x}+4^x.4=5\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}.4^x+4.4^x=5\)
\(\Leftrightarrow4^x=\dfrac{10}{9}\)
\(\Leftrightarrow x=\log_4\dfrac{10}{9}\)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x=\log_4\dfrac{10}{9}\).
a) Đưa về cùng cơ số
Ví dụ 2: Giải phương trình \(\left(1,5\right)^{5x-7}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{x+1}\).
Giải:
Đưa hai vế về cùng cơ số \(\dfrac{3}{2}\) ta được:
\(\left(\dfrac{3}{2}\right)^{5x-7}=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{-x-1}\)
Do đó \(5x-7=-x-1\Leftrightarrow x=1\)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x=1\).
b) Đặt ẩn phụ
Ví dụ 3: Giải phương trình \(9^x-4.3^x-45=0\).
Giải:
Đặt \(t=3^x\left(t>0\right)\) ta có phương trình: \(t^2-4t-45=0\)
Giải phương trình bậc hai này ta được hai nghiệm \(t_1=9,t_2=-5\)
Chỉ có nghiệm \(t_1=9\) thoả mãn điều kiện \(t>0\).
Do đó \(3^x=9\Leftrightarrow x=2\)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x=2\).
c) Lôgarit hoá
Ví dụ 4: Giải phương trình \(3^x.2^{x^2}=1\).
Giải:
Lấy lôgarit hai vế với cơ số 3 (còn gọi là lôgarit hoá), ta được:
\(\log_3\left(3^x.2^{x^2}\right)=\log_31\Leftrightarrow\log_33^x+\log_32^{x^2}=0\)
Từ đó ta có: \(x+x^2\log_32=0\Leftrightarrow x\left(1+x\log_32\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-\dfrac{1}{\log_32}=-\log_23\end{matrix}\right.\)
Vậy phương trình có hai nghiệm là \(x_1=0\) và \(x_2=-\log_23\).
Phương trình lôgarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu lôgarit.
Phương trình lôgarit cơ bản có dạng
\(\log_ax=b\left(a>0,a\ne1\right)\)
Theo định nghĩa lôgarit ta có:
\(\log_ax=b\Leftrightarrow x=a^b\)
Phương trình \(\log_ax=b\left(a>0,a\ne1\right)\) luôn có nghiệm duy nhất \(x=a^b\) với mọi \(b\).
a) Đưa về cùng cơ số
Ví dụ 5: Giải phương trình \(\log_3x+\log_9x+\log_{27}x=11\).
Giải:
Đưa các số hạng ở vế trái về cùng cơ số 3, ta được
\(\log_3x+\log_{3^2}x+\log_{3^3}x=11\)
\(\Leftrightarrow\log_3x+\dfrac{1}{2}\log_3x+\dfrac{1}{3}\log_3x=11\Leftrightarrow\log_3x=6\)
Vậy \(x=3^6=729\).
b) Đặt ẩn phụ
Ví dụ 6: Giải phương trình \(\dfrac{1}{5-\log x}+\dfrac{2}{1+\log x}=1\).
Giải:
Điều kiện của phương trình là \(x>0\), \(\log x\ne5\) và \(\log x\ne-1\)
Đặt \(t=\log x\left(t\ne5,t\ne-1\right)\) ta được phương trình
\(\dfrac{1}{5-t}+\dfrac{2}{1+t}=1\)
Từ đó ta có phương trình
\(1+t+2\left(5-t\right)=\left(5-t\right)\left(1+t\right)\)
\(\Leftrightarrow t^2-5t+6=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=2\left(tm\right)\\t=3\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)
Với \(t=2\) ta có \(\log x=2\Leftrightarrow x=100\)
Với \(t=3\) ta có \(\log x=3\Leftrightarrow x=1000\)
Vậy phương trình có hai nghiệm là \(x_1=100\) và \(x_2=1000\).
c) Mũ hoá
Ví dụ 7: Giải phương trình \(\log_2\left(5-2^x\right)=2-x\).
Giải:
Điều kiện của phương trình là \(5-2^x>0\)
Ta có \(\log_2\left(5-2^x\right)=2-x\) \(\Leftrightarrow2^{\log_2\left(5-2^x\right)}=2^{2-x}\) (phép biến đổi này gọi là mũ hoá)
Từ đó ta có: \(5-2^x=\dfrac{4}{2^x}\Leftrightarrow2^{2x}-5.2^x+4=0\)
Đặt \(t=2^x\left(t>0\right)\) ta có phương trình bậc hai \(t^2-5t+4=0\)
Phương trình này có hai nghiệm \(t=1,t=4\).
Với \(t=1\), ta có \(2^x=1\Leftrightarrow x=0\)
Với \(t=4\), ta có \(2^x=4\Leftrightarrow x=2\).
Vậy phương trình có hai nghiệm là \(x_1=0\) và \(x_2=2\)