Em tham khảo tại link này nhé.

Câu hỏi của truong nhat linh - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

Kéo dài BG cắt AC tại N; CG cắt AB tại M

Có : S_AGC = \(\frac{1}{2}\)h.GC ; S_BGC = \(\frac{1}{2}\). k. GC  mà S_AGC = S_GBC nên h = k

Mặt khác, S_GAM   = \(\frac{1}{2}\)h.GM ; S_GBM = \(\frac{1}{2}\)k. GM 

=> S_GAM = S_GBM 

Lại có : tam giác GAM; GBM đều chung chiều cao hạ từ G xuống AB => đáy MA = MB => M là trung điểm của AB => CM là trung tuyến 

+) Tương tự, từ S_GAB = S_GBC => N là trung điểm của AC => BN là trung tuyến

BN cắt CM tại G => G là trọng tâm tam giác ABC

a) Tam giác AGP và PGB có chung đường cao hạ từ đỉnh G và AP = PB nên S_AGP = S_PGB

Tương tự, ta có: S_BGM = S_MGC và S_CGN = S_NGA.

Vì G là trọng tâm DABC Þ AG = 2GM.

Þ S_BGM = 1 2 S_ABG Þ S_BGM = S_AGP = S_PGB.

Chứng minh tương tự, ta suy ra được:

S_AGP = S_PGB = S_BGM = S_MGC = S_CGN = S_NGA

b) Sử dụng kết quả câu a) ta có diện tích mỗi tam giác bằng 1 6  S_ABC, từ đó suy ra ĐPCM.

Gọi M là giao điểm của GA với BC. 

Ta thấy \(S_{GAB}=S_{GAC}\) mà hai tam giác trên chung cạnh đáy GA nên chiều cao hạ từ B và C xuông GA là bằng nhau.

Vậy thì \(S_{GBM}=S_{GCM}\)

Từ đó suy ra BM = CM hay M là trung điểm BC.

Vậy AM là trung tuyến tam giác ABC.

Lại có \(S_{GBM}=\frac{S_{GBC}}{2}=\frac{S_{ABG}}{2}\Rightarrow\frac{AG}{GM}=2\)

Vậy nên G là trọng tâm tam giác ABC.

Tham khảo:

a) Đặt \(a = BC,b = AC,c = AB.\)

Ta có: \(p = \frac{1}{2}(15 + 18 + 27) = 30\)

Áp dụng công thức heron, ta có:

\({S_{ABC}} = \sqrt {30(30 - 15)(30 - 18)(30 - 27)}  = 90\sqrt 2 \)

Và \(r = \frac{S}{p} = \frac{{90\sqrt 2 }}{{30}} = 3\sqrt 2 \)

b) Gọi, H, K lần lượt là chân đường cao hạ từ A và G xuống BC, M là trung điểm BC.

G là trọng tâm tam giác ABC nên \(GM = \frac{1}{3}AM\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow GK = \frac{1}{3}.AH\\ \Rightarrow {S_{GBC}} = \frac{1}{3}.\,{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.90\sqrt 2  = 30\sqrt 2 .\end{array}\)