Từ zyz = 4 => \(\sqrt{xyz}=\sqrt{4}=2\)

Ta có:A = \(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+2}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}+\frac{2\sqrt{z}}{\sqrt{zx}+2\sqrt{z}+2}\)

A = \(\frac{\sqrt{xz}}{\sqrt{xyz}+\sqrt{xz}+2\sqrt{z}}+\frac{\sqrt{xyz}}{\sqrt{xy^2z}+\sqrt{xyz}+\sqrt{xz}}+\frac{2\sqrt{z}}{\sqrt{xz}+2\sqrt{z}+2}\)

A = \(\frac{\sqrt{xz}}{\sqrt{xz}+2\sqrt{z}+2}+\frac{2}{2\sqrt{z}+\sqrt{xz}+2}+\frac{2\sqrt{z}}{\sqrt{xz}+2\sqrt{z}+2}\)

A = \(\frac{\sqrt{xz}+2\sqrt{z}+2}{\sqrt{xz}+2\sqrt{z}+2}=1\)

\(xy+yz+zx=xyz\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)

Do vai trò của x;y;z bình đẳng như nhau;giả sử:\(1< x\le y\le z\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}\ge\frac{1}{y}\ge\frac{1}{z}\)

Khi đó,ta có:\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}=1\)

\(\Rightarrow\frac{3}{x}\ge1\)

\(\Rightarrow x=3;x=2\)

+) Với \(x=3\)\(\Rightarrow\frac{1}{3}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)

\(\Rightarrow\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{2}{3}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{y}+\frac{1}{y}\ge\frac{2}{3}\)

\(\Rightarrow\frac{2}{y}\ge\frac{2}{3}\)

\(\Rightarrow y\le3\)

\(\Rightarrow y=2;y=3\)

+) với \(y=2\Rightarrow z=6\)

+) Với \(y=3\Rightarrow z=3\)

Với \(x=2\)

\(\Rightarrow\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{2}{y}\ge\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow y=1;y=2;y=3;y=4\)

Đến đây rồi thử vào rồi tìm ra z.

Câu kết nhớ từ "HOÁN VỊ"

Vì x, y, z là các số nguyên dương nên x,y,z \(\ge1\)

Ta có

\(x^2+y^3+z^4=90\)

\(\Rightarrow z^4< 90\)

Ta thấy rằng \(\hept{\begin{cases}4^4=256>90\\3^4=81< 90\end{cases}}\)nên z không thể lớn hơn 4 được

Hay z nhận các giá trị là 1, 2, 3

Với z = 3 thì

\(x^2+y^3=90-3^4=9\)

Tương tự như trên ta cũng thấy được: y chỉ thể nhận các giá trị 1,2

Thế vô lần lược tìm được: y = 2, x = 1

Xét lần lược các trường hợp của z sẽ tìm được các nghiêm còn lại

Các bộ số cần tìm là: \(\left(x,y,z\right)=\left(1,2,3\right);\left(5,4,1\right);\left(9,2,1\right)\)

Mình chỉ hướng dẫn bạn cách làm thôi nhé.

Vì x,y,z là các số nguyên dg nên x,y,z >/1 

Ta có : x² +y³ +z⁴ = 90

Suy ra z⁴ < 90

Ta thấy rằng {4² = 256 > 90 , 3⁴ = 81 < 90 nên z ko thể >4

Hay z nhận các gt là 1,2,3

Với z=3 thì :

x²

a) Vì vai trò của x, y, z như nhau nên ko mất tính tổng quát, giả sử x≤y≤zx≤y≤z

⇒⇒ 3z ≥≥ xyz

⇒⇒ 3 ≥≥ xy

Vì xy nguyên dương nên xy = 1 hoặc xy = 2

+ Nếu xy = 1 thì x + y + z = z ⇒⇒ x + y = 0, loại vì x, y nguyên dương

+ Nếu xy = 2 thì x + y + z = 2z ⇒⇒ x + y = z. Do xy = 2 và x ≤≤ y nên x = 1, y = 2, do đó y = 3.

Vậy...

b, xyz = 9 + x + y + z
<=> 1 = 1/yz + 1/xz + 1/xy + 9/xyz
giả sử: x ≥ y ≥ z ≥ 1, ta có:
1 = 1/yz + 1/xz + 1/xy + 9/xyz ≤ 1/z^2 + 1/z^2 + 1/z^2 + 9/z^2 = 12/z^2
=> z^2 ≤ 12 => z = 1, 2 , 3
*z = 1:
1=1/y + 1/x + 1/xy ≤ 1/y + 1/y + 1/y = 3/y
=> y ≤ 3 => y = 1,2,3
y =1 => x= 11 + x (vô nghiệm)
y = 2 => 2x = 12 + x => x = 12 trường hợp nầy nghiệm (12,2,1)
y = 3 => 3x = 13 + x ( không có ngiệm x nguyên)

* z = 2
1 = 1/2y + 1/2x + 1/xy + 1/2xy = 1/2y + 1/2x + 3/2xy ≤ 1/2(1/y + 1/y + 3/y) = .5/2y
=> y ≤ 5/2 => y = 2
=> 4x = 13 + x (không có nghiệm x nguyên)

* z =3:
1 = 1/3y + 1/3x + 1/xy + 3/xy = 1/3y + 1/3x + 4/xy ≤ 1/3(1/y +1/y + 12/y) = 14/3y
=> y ≤ 14/3 => y = 3, 4
y = 3 => 9x = 15 + x (không có nghiệm x nguyên)
y = 4 => 12x = 16 + x (không có nghiệm x nguyên)

Vậy pt có nghiệm là (12,2,1) và các hoán vị của nó.

chúc bạn hok tốt

a) Vì vai trò của x,y,z như nhau nên có thể giả sử \(x\ge y\ge z\)

Khi đó : \(xyz=4\left(x+y+z\right)\le12x\Rightarrow yz\le12\)

=> \(z^2\le12\Rightarrow z^2\in\left\{1;4;9\right\}\Rightarrow z\in\left\{1;2;3\right\}\)

+) Trường hợp 1 : 

z = 1 thì xy = 4(x + y + 1) <=> (x - 4)(y - 4) = 20

Nên x - 4 và y - 4 là ước của 20 với \(x-4\ge y-4\ge-3\)(do \(x\ge y\ge z=1\))

Vậy ta được cặp (x;y) là \(\left(24;5\right);\left(14;6\right);\left(9;8\right)\)

Xét tiếp trường hợp z = 2,z = 3 nữa nhé

b) Tương tự