cái này bọn mik làm rồi này, cậu chia cả tử và mẫu cho a^2 ;b^2(lần lượt nhé và chỉ 2 phân thức đầu thôi)

sau đó 

rồi cậu rút gọn mẫu và đặt b/a=x;c/b=y=> c/a=xy

rồi ... cô si các kiểu

bài này chi đề xuất để biết thêm chi tiết liên hệ với đào khánh chi thông minh hok giỏi nhất đội tuyển toán trường THCS 14-10

Dự đoán \(MinP=\frac{3}{4}\)khi a = b = c

Ta có: \(\frac{c}{4a}=\frac{c^2}{4ca}\ge\frac{c^2}{\left(c+a\right)^2}\)(Theo BĐT AM - GM)

Nên ta cần chứng minh \(\frac{a^2}{\left(a+b\right)^2}+\frac{b^2}{\left(b+c\right)^2}+\frac{c^2}{\left(c+a\right)^2}\ge\frac{3}{4}\)

Ta có bất đẳng thức quen thuộc sau: \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)(BĐT Bunyakovsky dạng phân thức)

Áp dụng, ta được: \(\frac{a^2}{\left(a+b\right)^2}+\frac{b^2}{\left(b+c\right)^2}+\frac{c^2}{\left(c+a\right)^2}\ge\frac{1}{3}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\right)^2\)

Đến đây, ta cần chỉ ra rằng: \(\frac{1}{3}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\right)^2\ge\frac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\ge\frac{3}{2}\)

Ta viết bất đẳng thức cần chứng minh thành \(\frac{1}{\left(1+\frac{b}{a}\right)^2}+\frac{1}{\left(1+\frac{c}{b}\right)^2}+\frac{1}{\left(1+\frac{a}{c}\right)^2}\ge\frac{3}{4}\)

Đặt \(x=\frac{b}{a};y=\frac{c}{b};z=\frac{a}{c}\)khi đó xyz = 1 và ta cần chứng minh \(\frac{1}{\left(1+x\right)^2}+\frac{1}{\left(1+y\right)^2}+\frac{1}{\left(1+z\right)^2}\ge\frac{3}{4}\)

Lại đặt \(x=\frac{np}{m^2};y=\frac{mp}{n^2};z=\frac{mn}{p^2}\)(m, n, p > 0). Khi đó bất đẳng thức được viết lại thành:

\(\frac{1}{\left(1+\frac{np}{m^2}\right)^2}+\frac{1}{\left(1+\frac{mp}{n^2}\right)^2}+\frac{1}{\left(1+\frac{mn}{p^2}\right)^2}\ge\frac{3}{4}\)\(\Leftrightarrow\frac{m^4}{\left(m^2+np\right)^2}+\frac{n^4}{\left(n^2+mp\right)^2}+\frac{p^4}{\left(p^2+mn\right)^2}\ge\frac{3}{4}\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức thì được: \(\frac{m^4}{\left(m^2+np\right)^2}+\frac{n^4}{\left(n^2+mp\right)^2}+\frac{p^4}{\left(p^2+mn\right)^2}\)\(\ge\frac{\left(m^2+n^2+p^2\right)^2}{\left(m^2+np\right)^2+\left(n^2+mp\right)^2+\left(p^2+mn\right)^2}\)

Và ta cần chứng minh \(\frac{\left(m^2+n^2+p^2\right)^2}{\left(m^2+np\right)^2+\left(n^2+mp\right)^2+\left(p^2+mn\right)^2}\ge\frac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow m^4+n^4+p^4+5\left(m^2n^2+n^2p^2+p^2m^2\right)\ge6mnp\left(m+n+p\right)\)

Ta có: \(m^4+n^4+p^4+5\left(m^2n^2+n^2p^2+p^2m^2\right)\ge\)\(\left(m^2n^2+n^2p^2+p^2m^2\right)+5\left(m^2n^2+n^2p^2+p^2m^2\right)\)\(=6\left(m^2n^2+n^2p^2+p^2m^2\right)\)\(\ge6mnp\left(m+n+p\right)\)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c 

Câu hỏi của Phạm Trần Minh Trí - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Em tham khảo.

Áp dụng BĐT AM-GM: \(\frac{a^3}{\left(b+c\right)^2}+\frac{b+c}{8}+\frac{b+c}{8}\ge\frac{3}{4}a\)

Suy ra \(\frac{a^3}{\left(b+c\right)^2}\ge\frac{3a-b-c}{4}\)

Tương tự các BĐT còn lại và cộng theo vế ta được \(VT\ge\frac{a+b+c}{4}=\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b=  c = 2

Có cách UCT :)

\(P=\Sigma_{cyc}\frac{a^3}{\left(6-a\right)^2}\)

Xét BĐT phụ: \(\frac{a^3}{\left(6-a\right)^2}\ge a-\frac{3}{2}\Leftrightarrow\frac{27\left(a-2\right)^2}{2\left(a-6\right)^2}\ge0\)(luôn đúng)

Thiết lập tương tự 2 BĐT còn lại và cộng theo vế..

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=2

Đó nhớ cho mình nha 

Dat \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x,y,z\right)\)

thi \(P= \Sigma \frac{z^2}{x+y} \geq \frac{x+y+z}{2} \) (1)

Mat khac co \(x+y+z=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=3\) (2)

Tu (1) va (2) suy ra \(P\ge\frac{3}{2}\).Dau = xay ra khi \(a=b=c=1\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(6=2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+c\left(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\right)\)

\(\ge4+\frac{c\left(a^3+b^3\right)}{a^2b^2}\ge4+\frac{c\left(a+b\right)}{ab}\)\(\Rightarrow\frac{c\left(a+b\right)}{ab}\in\text{(}0;2\text{]}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz lại có:

\(P\ge\frac{\left(bc+ca\right)^2}{2abc\left(a+b+c\right)}+\frac{4}{\frac{c\left(a+b\right)}{ab}}\)\(\ge\frac{3c^2\left(a+b\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{4}{\frac{c\left(a+b\right)}{ab}}\)

\(=\frac{\frac{3c^2\left(a+b\right)^2}{a^2b^2}}{2\left(1+\frac{ca}{ab}+\frac{bc}{ab}\right)^2}+\frac{4}{\frac{c\left(a+b\right)}{ab}}\)

\(=\frac{\frac{3c^2\left(a+b\right)^2}{a^2b^2}}{2\left[1+\frac{c\left(a+b\right)}{ab}\right]^2}+\frac{4}{\frac{c\left(a+b\right)}{ab}}\)

Đặt \(x=\frac{c\left(a+b\right)}{ab}\left(x\in\text{(}0;2\text{]}\right)\) khi đó ta có:

\(P\ge\frac{3x^2}{2\left(1+x\right)^2}+\frac{4}{x}\) cần chứng minh \(P\ge\frac{8}{3}\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(7x^2+22x+12\right)\le0\forall x\in\text{(0;2]}\)

Vậy \(Min_P=\frac{8}{3}\) khi a=b=c=2

Chỗ dùng cauchy- schwarz mình không hiểu lắm

Dùng Buniacoxki

=> MinP=9 khi a=b=c