\(ĐKXĐ:0\le x\ne x\)

a) \(P=\left(\frac{\sqrt{x}-2}{x-1}-\frac{\sqrt{x}+2}{x+2\sqrt{x}+1}\right).\frac{\left(1-x\right)^2}{2}\)

\(P=\left[\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)^2}-\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)^2}\right].\frac{\left(1-x\right)^2}{2}\)

\(P=\frac{x-\sqrt{x}-2-x-\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)^2}.\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2\left(\sqrt{x}+1\right)^2}{2}\)

\(P=\frac{-2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)^2}.\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2\left(\sqrt{x}+1\right)^2}{2}\)

\(P=-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\)

b) \(P=-x+\sqrt{x}=-\left(x-2\sqrt{x}.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{4}=-\left(\sqrt{x}.\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\le\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow MAX_P=\frac{1}{4}\text{ khi }x=\frac{1}{4}\)

\(D=\frac{x^2+8}{x^2+3}=\frac{x^2+3+5}{x^2+3}=1+\frac{5}{x^2+3}\)

ta có x^2+3>=3 => 5/(x^2+3)<=5/3 

=> D = 8/3 tại x=0

câu b)

2(x-1)²  +3 >=3 

=> C <= 1/3 tại x=1

GTLN :

\(A=\frac{x+1}{x^2+x+1}=\frac{\left(x^2+x+1\right)-x^2}{x^2+x+1}=1-\frac{x^2}{x^2+x+1}\)

Vì \(\frac{x^2}{x^2+x+1}=\frac{x^2}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\ge0\forall x\) nên \(A=1-\frac{x^2}{x^2+x+1}\le1\forall x\) có GTLN là 1

GTNN : 

\(A=\frac{x+1}{x^2+x+1}=\frac{-\frac{1}{3}x^2-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}x^2+\frac{4}{3}x+\frac{4}{3}}{x^2+x+1}=\frac{-\frac{1}{3}\left(x^2+x+1\right)+\frac{1}{3}\left(x+2\right)^2}{x^2+x+1}\)

\(=-\frac{1}{3}+\frac{\frac{1}{3}\left(x+2\right)^2}{x^2+x+1}=-\frac{1}{3}+\frac{\left(x+2\right)^2}{3\left(x^2+x+1\right)}\ge-\frac{1}{3}\) có GTNN là \(-\frac{1}{3}\)

Ta co :\(\dfrac{1}{f\left(x\right)}=\) \(x^4-x^2+1=x^4-2.\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\)

= \(\left(x^2-\dfrac{1}{4}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}\)

=> f(x) ≤ \(\dfrac{4}{3}\)

Vay max f(x) =\(\dfrac{4}{3}\)

Hình như đề sai rùi bạn ơi !

Phải sửa xy/x^2+y^2 thành x^2+y^2/xy hoặc cái gì khác

Vì xy/x^2+y^2 chỉ có GTLN chứ ko có GTNN đâu

Mk nói có gì sai thì thông cảm nha !

đề không sai đâu bạn à. Đây là đề toán chuyên ở tỉnh mình mà

Theo B.C.S ta có \(\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\)\(\ge\)(\(\sqrt{\left(x+y\right)^2}\)\(=x+y\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\ge\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\left(x+y\right)=2+\frac{x^2+y^2}{xy}\)

\(\Leftrightarrow\)\(P\ge2+\frac{xy}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2}{4xy}+\frac{3\left(x^2+y^2\right)}{4xy}\)

\(\Leftrightarrow\)\(P\ge2+2\sqrt{\frac{xy}{x^2+y^2}\times\frac{x^2+y^2}{4xy}}\)\(+\frac{3\times2xy}{4xy}\)

\(\Leftrightarrow\)\(P\ge2+1+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}\)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\)x=y

P + 1 = (x^2+1+4x+3)/x^2+1 = (x^2+4x+4)/x^2+1 = (x+2)^2/x^2+1 >= 0

=> P >= -1

Dấu "=" xảy ra <=> x+2 = 0 <=> x =-2

Vậy Min P = -1 <=> x = -2

Lại có : 4 - P = (4x^2+4-4x-3)/x^2+1 = (4x^2-4x+1)/x^2+1 = (2x-1)^2/x^2+1 >=0

=> P <= 4

Dấu "=" xảy ra <=> 2x-1 = 0 <=> x= 1/2

Vậy Max P = 4 <=> x=1/2

 Câu trả lời hay nhất:  Biểu diễn P: 

P = x^2 - 4x + 5 

= x^2 - 4x + 4 + 1 

= (x^2 - 4x + 4) + 1 

= (x - 2)^2 + 1 >= 1 

Vậy giá trị nhỏ nhất đạt được của P = 1 khi: 

(x - 2)^2 = 0 

<=> x - 2 = 0 

<=> x = 2