a: Xét ΔEAD và ΔFCB có

góc A=góc C

AD=CB

góc ADE=góc CBF(góc ADE=1/2*góc ADC=1/2*góc ABC=góc CBF)

Do đó; ΔEAD=ΔFCB

=>AE=CF

b: AE+EB=AB

CF+FD=CD

mà AB=CD và AE=CF

nên EB=FD

Xét tứ giác DEBF có

BE//FD

BE=FD

=>DEBF là hình bình hành

c: ABCD là hbh

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường(1)

DEBF là hbh

=>DB cắt EF tại trung điểm của mỗi đường(2)

Từ (1), (2) suy ra AC,BD,EF đồng quy

a) Ta thấy \(\widehat{AED}=\widehat{EDC}=\widehat{ADE}\) nên tam giác ADE cân tại A. Hoàn toàn tương tự thì tam giác CBF cân tại C. 

 Mặt khác, do tứ giác ABCD là hình bình hành nên \(\widehat{A}=\widehat{C},\widehat{B}=\widehat{D}\). Do đó \(\dfrac{\widehat{B}}{2}=\dfrac{\widehat{D}}{2}\) hay \(\widehat{CBF}=\widehat{ADE}\). Kết hợp với \(\widehat{A}=\widehat{C}\) thì suy ra \(\Delta ADE~\Delta CBF\left(g.g\right)\). Lại có \(\dfrac{AD}{CB}=1\) (do tứ giác ABCD là hình bình hành), suy ra \(\Delta ADE=\Delta CBF\) (2 tam giác đồng dạng có tỉ số đồng dạng bằng 1 thì 2 tam giác đó bằng nhau), ta có đpcm.

 b) Ta thấy \(\widehat{AED}=\widehat{ADE}=\widehat{CBF}=\widehat{ABF}\) nên DE//BF. Lại có BE//DF (do tứ giác ABCD là hình bình hành) nên tứ giác DEBF cũng là hình bình hành (các cặp cạnh đối song song).

a/

Xét tg ADE có

\(\widehat{ADE}=\widehat{CDE}\) (gt) (1)

\(\widehat{AED}=\widehat{CDE}\) (góc so le trong) (1)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{ADE}=\widehat{AED}\) => tg ADE là tg cân tại A

=> AD=AE (3)

Xét tg CBF có

\(\widehat{CBF}=\widehat{ABF}\) (gt) (4)

\(\widehat{CFB}=\widehat{ABF}\) (góc so le trong) (5)

Từ (4) và (5) => \(\widehat{CBF}=\widehat{CFB}\)  => tg CBF cân tại C

=> CB=CF (6)

Ta có

AD=CB (cạnh đối hình bình hành) (7)

Từ (3) (6) (7) => AD=AE=CB=CF

Mà \(\widehat{DAE}=\widehat{BCF}\) (góc đối hình bình hành)

=> tg ADE = tg CBF (c.g.c)

=> tg ADE và tg CBF là những tg cân bằng nhau

b/

tg ADE = tg CBF (cmt) \(\Rightarrow\widehat{BFC}=\widehat{ADE}\)

Mà \(\widehat{EDC}=\widehat{ADE}\) (gt)

\(\Rightarrow\widehat{BFC}=\widehat{EDC}\)  Hai góc này ở vị trí đồng vị => DE//BF (8)

Ta có

AB//CD (cạnh đối hình bình hành) => BE//DF (9)

Từ (8) (9) => DEBF là hình bình hành (tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau là hình bình hành)

a) Ta có:

Góc D là góc bình phương của góc B, do đó, góc D và góc B có cùng độ lớn.

Góc D là góc phân giác của góc A, do đó, góc D và góc A có cùng độ lớn.

Vậy, ta có: góc D = góc B = góc A.

Từ đó suy ra:

Tam giác ADE là tam giác cân (vì góc D = góc A).

Tam giác CBF là tam giác cân (vì góc D = góc B).

Vậy, ta có: tam giác ADE và tam giác CBF là những tam giác cân bằng nhau.

b) Tứ giác DEBF là một hình thang, vì có hai cạnh song song (DE và BF) và hai cạnh kề (DB và EF).

Vậy, tứ giác DEBF là một hình thang. tick mik nha ^_^

Ta có: \(\widehat{ADE}=\widehat{CDE}=\dfrac{\widehat{ADC}}{2}\)(DE là phân giác của góc ADC)

\(\widehat{ABF}=\widehat{CBF}=\dfrac{\widehat{ABC}}{2}\)(BF là phân giác của góc ABC)

mà \(\widehat{ADC}=\widehat{ABC}\)(ABCD là hình bình hành)

nên \(\widehat{ADE}=\widehat{CDE}=\widehat{ABF}=\widehat{CBF}\)

Xét ΔADE và ΔCBF có

\(\widehat{EAD}=\widehat{FCB}\)(ABCD là hình bình hành)
AD=CB

\(\widehat{ADE}=\widehat{CBF}\)(cmt)

Do đó: ΔADE=ΔCBF

=>AE=CF

Ta có: AE+EB=AB

CF+FD=CD

mà AE=CF và AB=CD

nên EB=FD

Ta có: AB//CD

E\(\in\)AB

F\(\in\)CD

Do đó: BE//DF

Xét tứ giác BEDF có

BE//DF

BE=DF

Do đó: BEDF là hình bình hành

a) Vì \(DE\), \(BF\) là phân giác (gt)

Suy ra \(\widehat {{\rm{ADE}}} = \widehat {{\rm{EDC}}} = \frac{{\widehat {ADC}}}{2}\); \(\widehat {{\rm{EBF}}} = \widehat {{\rm{CBF}}} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2}\) (1)

Vì \(ABCD\) là hình bình hành (gt)

Suy ra \(AB\) // \(CD\) và \(\widehat {ADC} = \widehat {ABC}\) (2)

Suy ra \(\widehat {{\rm{AED}}} = \widehat {{\rm{EDC}}}\) (so le trong) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra \(\widehat {AED} = \widehat {ABF}\)

Mà hai góc ở vị trí đồng vị

Suy ra \(DE\) // \(BF\)

b) Xét tứ giác \(DEBF\) ta có:

\(DE\) // \(BF\) (cmt)

\(BE\) // \(DF\) (do \(AB\) // \(CD\))

Suy ra \(DEBF\) là hình bình hành

a/

\(\widehat{DAE}=\frac{\widehat{A}}{2};\widehat{ADE}=\frac{\widehat{D}}{2}\Rightarrow\widehat{DAE}+\widehat{ADE}=\frac{\widehat{A}+\widehat{D}}{2}\)

Mà \(\widehat{A}+\widehat{D}=180^o\) (Vì AB//CD nên ^A và ^D là 2 góc trong cùng phía nên bù nhau)

\(\Rightarrow\widehat{DAE}+\widehat{ADE}=\frac{\widehat{A}+\widehat{D}}{2}=\frac{180^o}{2}=90^o\) 

Xét tg ADE có ^DAE+^ADE=90 => ^AED=180-(^DAE+^ADE)=180-90=90

Chứng minh tương tự cũng có ^BFC=90

b/

Xét tg ADP có DE là phân giác cua ^D

^AED=90 => DE vuông góc với AP

=> DE vùa là phân giác vừa là đường cao => tg ADP cân tại D => AD=DP

Chứng minh tương tự cũng có tg BPC cân tại C => BC=CP

=> AD+BC=DP+CP=DC

c/

Xét tg cân ADP có DE là đường cao => DE là đường trung trực thuộc cạnh AP => AE=PE

Chứng minh tương tự với tg cân BPC => BF=PF

=> EF là đường trung bình của tg ABP (đường thẳng đi qua trung điểm 2 cạnh của 1 tg là đường trung bình)

=> EF//AB//CD

Xét tg ADP có EF//CD và AF=PF => EF là đường trung bình của tg ADP => EF đi qua trung điểm của AD

Chứng minh tương tự cuãng có EF đi qua trung ddiemr của BC

=> EF là đường trung bình của hình thang ABCD