Câu trả lời hay nhất:  x² - 4x +y - 6√(y) + 13 = 0 
<=> (x^2 - 4x +4) + (√(y)^2 - 6√(y) + 9) = 0 
<=> (x-2)^2 + (√(y) -3)^2 = 0 
VT >=0 dấu = xảy ra <=> x = 2 ; y = 9 

b) (xy²)² - 16xy³ + 68y² -4xy + x² = 0 
<=> ((xy²)² - 16xy³ + 64y²) + (4y^2 - 4xy + x^2) = 0 
<=> (xy² - 8y)^2 + (2y - x)^2 = 0 
VT >=0 => dấu = <=> xy² - 8y = 0 và 2y - x = 0 
<=> y = 0 ; x = 0 hoặc x = 4 ; y = 2 hoặc x = -4 ;y = -2 
c/ 
x² - x²y - y + 8x + 7 = 0 
<=> x²(1-y) + 8x - y + 7 = 0 
xét delta' = 4^2 - (1-y)(7-y) = 16 - 7 -y^2 + 8y = -(y^2 -8y + 16) +25 = 25 - (y-4)^2 
để pt có nghiệm thì delta' >=0 
<=> (y-4)^2 <=25 
<=> -1<= y <=9 
=> max y = 9 
=> x = 3/2 hoặc x = -1/2 
3/ 
x² - 6x + 1 =0. nhân cả 2 vế với x^(n-1) ta được 
x^(n+1) - 6x^n + x^(n-1) = 0 
với S(n) = x1ⁿ +x2ⁿ ta có: 
S(n+1) - 6S(n) + S(n-1) = 0 
<=> S(n+1) = 6S(n) - S(n-1) 
với S(1) = 6 
S(2) = 22 
=> S(3) nguyên 
=> S(4) nguyên 
=> S(n) nguyên (do biểu thức truy hồi S(n+1) = 6S(n) - S(n-1)) 
ta có: 
S(1) không chia hết cho 5 
S(2) .............................. 
=> S(3) = 6S(2) - S(1) = 6.(22 -1) = 6.21 không chia hết cho 5 
S(n) và S(n-1) ko chia hết cho 5 => 
S(n+1) = S(n) + S(n-1) ko chia hết cho 5 
 

\(x-y=2\Rightarrow y=x-2\). Thay vào pt đầu tiên, ta có:

\(\left(m-1\right)x+2\left(x-2\right)=m+1\) 

\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)x=m+5\)

 Ta thấy \(m\) không thể bằng -1 được vì khi đó \(m+5=0\Leftrightarrow m=-5\), trong khi \(m\) không thể mang 2 giá trị cùng một lúc. Vì vậy, \(m\ne-1\).  \(\Rightarrow x=\dfrac{m+5}{m+1}\)

\(\Rightarrow y=x-2=\dfrac{m+5}{m+1}-2\) \(=\dfrac{3-m}{m+1}\).

Từ đó, ta có \(xy=\dfrac{\left(m+5\right)\left(3-m\right)}{\left(m+1\right)^2}\).

Rõ ràng \(\left(m+1\right)^2>0\) nên để \(xy>0\) thì \(\left(m+5\right)\left(3-m\right)>0\) \(\Leftrightarrow-5< m< 3\)

Kết luận: Để hpt đã cho có nghiệm duy nhất \(x,y\) thỏa mãn ycbt thì\(-5< m< 3\) và \(m\ne-1\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2y^4-16xy^3+64y^2\right)+\left(4y^2-4xy+x^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(xy^2-8y\right)^2+\left(2y-x\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy^2-8y=0\\2y-x=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy^2-8y=0\\x=2y\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2y.y^2-8y=0\)

\(\Leftrightarrow2y\left(y^2-4\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=0\Rightarrow x=0\\y=2\Rightarrow x=4\\y=-2\Rightarrow x=-4\end{matrix}\right.\)

a: Vì a=-1<0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng (2;+∞) và đồng biến trên khoảng (-∞;2]

Bảng biến thiên là:

\(y=\dfrac{1}{3}\left(m-1\right)x^3-\left(m-1\right)x^2+\left(m+3\right)x-2\)

\(y'=\)\(x^2\left(m-1\right)-2x\left(m-1\right)+m+3\)

a)\(y'=0\)\(\Leftrightarrow x^2\left(m-1\right)-2x\left(m-1\right)+m+3=0\)

Xét m=1 => pt tt: 3=0 (vô lí)

=> \(m\ne1\)

Để y'=0 có hai nghiệm pb cùng dấu

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\x_1x_2>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-16m+16>0\\\dfrac{m+3}{m-1}>0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow m< -3\)

b)y'=0 có hai nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta\ge0\) \(\Leftrightarrow m\le-3\)

Theo viet có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{2\left(m-1\right)}{m-1}=2\\x_1x_2=\dfrac{m+3}{m-1}\end{matrix}\right.\)

Có x₁²+x₂²=4

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=4\)

\(\Leftrightarrow\)\(4-\dfrac{2\left(m+3\right)}{m-1}=4\)

\(\Leftrightarrow m=-3\) (tm)

Vậy m=-3

(đúng không ạ?)